Ruled (Regle) Yüzeyleri Monge Yaması (Grafik Yüzey) Formunda Yazmak

Question

$\alpha:I\rightarrow R^3$ ve $\beta:I\rightarrow R^3$, $v\in R$ olmak üzere bir $M$ regle yüzeyin parametrik denklemi $$F(u,v)=\alpha(u)+v\beta (u)$$ şeklinde verilir. Burada $\alpha$  taban eğrisi(dayanak eğrisi) ve $\beta$ eğrisi (veya vektör alanı) doğrultman olarak adlandırılır. Herhangi bir $M$ yüzeyi Monge formu olarak $$\phi(u,v)=(u,v,F(u,v))$$ şeklinde verilir. Burada $F(u,v)$ iki değişkenli fonksiyonu, $M$ yüzeyinin kapalı denklemine karşılık gelir. Regle  yüzeyi Monge formunda yazmak istiyorum. Bunun için $\alpha$ ve $\beta$ eğrilerinin de kapalı denklemleri ile ifade edilmesi gerekir. Ancak bu eğriler düzlemsel değilse, başka bir ifadeyle uzay eğrileri ise (torsiyon $\tau \ne0)$ kapalı denklemleri mevcut değildir (en azından öyle biliyorum; belki göstermek lazım). Buna göre tabanı ve doğrultmanı düzlemsel eğriler olmayan Regle yüzeyler için Monge formu mevcut değildir mi diyeceğiz? Ama aynı zamanda her regüler yüzey için bir Monge yaması vardır diye biliyorum. Şimdi farzedelim ki taban ve doğrultman düzlemsel eğriler olsun ve karşılık gelen kapalı denklemler $\alpha$ ve $\beta$ ile gösterilsin. O zaman $$\phi(u,v)=(u,v,F(u,v))=(u,v,\alpha(u)+v\beta (u))$$   $$=(u,0,\alpha(u))+v(0,1,\beta (u))$$ şeklinde taban eğrisi $xz$ ve doğrulmanı $yz$ düzleminde olacak şekilde ($\alpha$ ve $\beta$ eğrileri farklı ortogonal düzlemlerde) yazılabiliyor. Örneğin helikoit yüzeyi  $\phi(u,v)=(vcosu,vsinu,u))=(0,0,u)+v(cosu,sinu,0)$ olarak yazılıyor ve yüzeyin kapalı denklemi $F(x,y)=arctan\dfrac{y}{z}$ olur. Ama o zaman da  $$\phi(x,y)=(x,y,F(x,y))=(x,y,arctan\dfrac{y}{x})=(x,y,\alpha(x)+y\beta (x))$$ olacak biçimdeki $\alpha$ ve $\beta$ kapalı fonksiyonları ne olur?

Comments

Niçin "Bunun için $\alpha$ ve $\beta$ eğrilerinin de kapalı denklemleri ile ifade edilmesi gerekir" diye düşünüyorsunuz?

"Kapalı denklem" ile tam olarak ne kastediyorsunuz?

(Tek kanatlı) Hiperboloid de regle yüzeydir (üstelik doğrultmanı da sabit değil, daha da ötesi bir düzlemde kalmıyor) ve ikinci derece bir denkleme sahiptir. (Taban eğrisi elips, "kapalı" denkleme sahip)

(Koni de regle yüzey)

---

Kapalı denklemi "implicit" anlamında kullanıyorum; $F(u,v)=u^3-v^3$ gibi, vektör değerli olmayan fonksiyon olarak. Soruda belirttiğim gibi Monge formundaki fonksiyon kapalı formda tanımlandığından fonksiyonu oluşturan $\alpha$ ve $\beta$ eğrileri de kapalı olmalı; örneğin $\alpha(u)=u^3+u^2$,  $\beta(u)=u$ olarak alırsak $F(u,v)=\alpha(u)+v\beta(u)=u^3+u^2+vu$ olur ve Monge yamasını $(u,v,F(u,v))=(u,v,u^3+u^2+vu)$ olarak ifade edebiliriz. Ama $\alpha$  ve  $\beta$ eğrileri uzay eğrileri olsaydı (mesela $\alpha(u)=(u,u^2,u^3))$ yamayı nasıl ifade edecektik?

$x^2+y^2-z^2=1$ tek kanatlı hiperboloidini parametrik olarak $$F(u,v)=(cosu-vsinu,sinu+vcosu,v)=(cosu,sinu,0)+v(-sinu,cosu,1)$$ veya $$F(u,v)=(cosu+vsinu,sinu-vcosu,-v)=(cosu,sinu,0)+v(sinu,-cosu,-1)$$ olarak yazarsak "double açılamaz ruled" bir regle yüzey olur (sanırım doğrultmanı sabit değil derken double ruled olduğunu ve doğrultmanın bir düzlemde kalmadığını söylerken de açılamaz olduğunu kastediyorsunuz). Buradaki örnekte taban eğrisi -dediğiniz gibi-çember(örneğe bağlı olarak elips) ve düzlemsel olduğundan kapalı bir denkleme sahip, helikoitte olduğu gibi. Benim yapamadığım her iki örnekte de (taban eğrileri düzlemsel de olsa) bu gibi yüzeyleri Monge yaması ile ifade etmek.

---

Biraz daha dikkatli okuyunca sorulanın  başka bir şey olduğunu farkettim.

Regle yüzey olmak, Monge yamasında, $z=\alpha(x)+y\beta(x))$ (gibi) olması demek değil.

Yüzeydeki noktaların konum vektörünün $\vec{\alpha}(u)+v\vec{\beta}(u)$ olması demek.

Burada $\vec{\alpha}$ (taban eğrisi) ve $\vec{\beta}$ (doğrultman) vektör değerli fonksiyonlar.