Yakınsak bir dizinin terimlerini karıştırırsak ne olur?

Question

$(a_n)$ yakınsak (veya sonsuza ıraksayan) bir dizi ve $f:\mathbb{N}^+\to\mathbb{N}^+$ bir 1-1 eşleme olsun.

$\forall n\in\mathbb{N}^+$ için $b_n=a_{f(n)}$ olarak  tanımlayalım.

1. $(b_n)$ dizisi de yakınsak (veya sonsuza ıraksayan) bir dizi olur mu?  Limiti aynı kalır mı?
2. $f$ 1-1 eşleme olmasa önceki sorunun cevabı değişir mi?

Comments

$(a_n)$ dizisi yakinsak olsun ve $A$ degerine yakinsasin,

Bu demek ki $N$ den buyuk her $n$ oyle bir icin  $\epsilon$ var i $|A-a_n| < \epsilon$.

$I=\{a_0 , a_1 , \cdots, a_N\}$ kumesi sonlu. Yani yeterince buyuk bir $M$ den buyuk $m$ icin

$b_m \notin I $ ama bu ayni zamanda  $m>M$ icin $|A-b_m|<\epsilon$ anlamina gelir.

Yani dizi yakinsaksa indexleri yeniden adlandirmak dizinin limitini degistirmez?

---

onceki yorumumun 1. sorunun yarisini dogru cozdugumu kabul edersek, 2. sorunun cevabi hayir.

$f$ sabit bir fonksiyon olsun. $b_n $ dizisnin limiti o sabit olacaktir, $a_n$ yakinsakligindan (ve limitinden) ve iraksaklgindan bagimsiz olarak.

---

sanki bijection yerine injection kullanabiliriz gibime geliyor. $x\to x+1$ fonksyonu da limiti degistirmez gibime geldi

---

Tamam, bunu biraz daha düzgün bir şekilde yazabilirsen cevap olur. İkinci soru?

---

eger injection degilse $f$ boyle bir garanti veremeyiz. Onceki yorumumda verdigim sabit fonksiyon ornegini yeniden veriyorum. $f(x) = 3$ olsun mesela $(b_n)$ dizisi $a_3$ e yakinsayacak her zaman $(a_n)$ dizisinin karakterinden bagimsiz olarak.

---

Injection yerine daha zayıf bir koşul ile aynı limite sahip olması garanti edilebilir.

---

hmm sanirim $\{(x,y) : f(x) = f(y) \land x \neq y\}$ kumesi sonluysa gene ayni islemi yapabiliriz ?

---

icimden baska bir ses ise monoton fonksyonlar ile alakali diyor bu soru

---

Daha da zayıflatmak mümkün.

EK: "$\{(x,y):f(x)=f(y),\ x\neq y\}$ kumesi sonluysa" koşulu çok kısıtlayıcı,

Düzeltme: "$f(n)=n+1$ bile bunu sağlamıyor." yazmıştım, bu hatalı.

---

hocam kafam karisti, birebir fonksiyonlar icin verdigim sart her zaman dogru degil mi. $f(n)=n+1$ icin yuarida verdigim sartlarla olusturulan kume bos kume?

---

Haklısın, benim hatam, (son kısmı: "$f(n)=n+1$bile bunu sağlamıyor.") dikkatsizce yazmışım.

($f$ için) O kadar kısıtlama gerekli değil, örneğin $f(n)=\begin{cases}n,&n\text{ tek}\\n-1,&n\text{ çift}\end{cases}$ fonksiyonu için o küme sonsuz ama yine de $\lim b_n=\lim a_n$ olduğunu göstermek zor değil.

(O durumda yapılan ispatı fazla değiştirmeden) Daha az bir kısıtlama yeterli olur, onu demek istedim.

EK: monotonluk da o kadar önemli değil.

---

bulamadim :(

Answer 1

Şunu ispatlayacağız:

$f:\mathbb{N}^+\to\mathbb{N}^+$, $\forall n\in\mathbb{N}^+$ için $f^{-1}(\{n\})$ sonlu bir küme ve $\lim a_n=L$ ise ($L\in\mathbb{R}\cup\{+\infty,-\infty\}$) ise $\lim a_{f(n)}=L$ olur.

(İspatı $L\in\mathbb{R}$ için yapacağım, $L\in\{\pm\infty\}=\{+\infty,-\infty\}$ ise, ispat hemen hemen aynı olacaktır)

Bir $\varepsilon>0$ sayısı verilsin, Limit tanımından,

$\forall n\geq K$ için $|a_n-L|<\varepsilon$ olacak şekilde bir $K\in\mathbb{N}^+$ vardır.

$A=\{n\in\mathbb{N}^+:f(n)<K\}=\bigcup_{m=1}^{K-1}f^{-1}(\{m\})$ olsun. Hipotezimizden, $A$ sonlu bir kümedir ($\emptyset$ da olabilir).

$M=1+\max A$ olsun ($A=\emptyset$ ise $M=1$ alalım).

Şimdi $\forall \ n\geq M$ için $f(n)\geq K$, dolayısıyla $|a_{f(n)}-L|<\varepsilon$ olur.

(Bu koşulu sağlamayan ve $\lim a_{f(n)}\neq L$ şeklinde bir fonksiyon örneğini zaten @eloi bulmuştu)