Cebirin Temel Teoremi

Question

İspatında anlayamadığım iki yer var. Sorularımın olduğu yerleri italik ile vurgulayacağım.

Cebirin Temel Teoremi: Derecesi $1$'den büyük her polinomun en az bir kökü vardır.

Liouville Teoremi: Bir fonksiyon tam (entire) ve sınırlı ise sabittir.

İspat: Aksine ispat yapabilmek için şunu varsayalım, her $z\in \mathbb{C}$ için $p(z) \ne0$ polinomu olsun. Şimdi $f(z)=\dfrac{1}{p(z)}$ tanımlayalım. $f(z)$ tam (entire) ve sınırlıdır. Liouville teoreminden $f(z)$ sabit oldu. $f(z)=c \to p(z)=\dfrac{1}{c}$. Çelişki elde ettik. O halde en az bir tane $z_1 \in \mathbb{C}$ vardır, öyleki $p(z_1)=0$

Sorum: $f(z)$'nin tam ve sınırlı olduğunu nasıl söyleyebildik? Şunu söyleyebiliyorum varsayımdan $p(z) \ne0$, o halde $f(z)$ hiçbir zaman tanımsız olmaz. O zaman her yerde analitiktir, dahası tamdır. Sınırlı için ne demeliyiz?

2) $p(z)=\dfrac{1}{c}$ yazdıktan sonra nasıl hemen çelişki bulabildik? Neyi gözden kaçırıyorum?

 

 

Comments

1. (EK: Sabit olmayan) Polinomlarin sonsuzdaki limiti sonsuzdur.
2. Polinomlar süreklidir.

Bu ikisinden (polinomun kökü yoksa) $\frac1{p(z)}$ nin sınırlı ve tam fonksiyon olduğu sonucu çıkarılabilir.

$p(z)=\frac1c$ ise polinom sabit (derecesi 0) olur.

---

$p(z)=\frac1c$ yazdıktan sonra polinomun içini sıfır yapan bir değer olduğunu nasıl anlayabildik?

---

Kanıtlamak istediğin şey sabit olmayan her polinomun bir kökü olduğu.

Yapabileceğin iki şey var.

Birincisi kanıtın başında seçtiğin özelliğe sahip bir polinomun sabit olduğunu göstermek. Bu direkt kanıt.

Ikincisi kanıtın başında $p$ için seçtiğin özelliğe ek olarak sabit olmama koşulu eklemek. Sonunda da sabit bir polinom elde ettiğin için çelişki elde etmiş oluyorsun.

Bence ilki daha güzel. Gereksiz çelişkiye gerek yok.

---

teşekkür ederim