İspatında anlayamadığım iki yer var. Sorularımın olduğu yerleri italik ile vurgulayacağım.
Cebirin Temel Teoremi: Derecesi 1'den büyük her polinomun en az bir kökü vardır.
Liouville Teoremi: Bir fonksiyon tam (entire) ve sınırlı ise sabittir.
İspat: Aksine ispat yapabilmek için şunu varsayalım, her z∈C için p(z)≠0 polinomu olsun. Şimdi f(z)=1p(z) tanımlayalım. f(z) tam (entire) ve sınırlıdır. Liouville teoreminden f(z) sabit oldu. f(z)=c→p(z)=1c. Çelişki elde ettik. O halde en az bir tane z1∈C vardır, öyleki p(z1)=0
Sorum: f(z)'nin tam ve sınırlı olduğunu nasıl söyleyebildik? Şunu söyleyebiliyorum varsayımdan p(z)≠0, o halde f(z) hiçbir zaman tanımsız olmaz. O zaman her yerde analitiktir, dahası tamdır. Sınırlı için ne demeliyiz?
2) p(z)=1c yazdıktan sonra nasıl hemen çelişki bulabildik? Neyi gözden kaçırıyorum?