$x^{ln2}$ ile $2^{lnx}$ aynı ifadeler midir?

Question

İki ifadenin de grafiklerini çizerek gösterebilirim diye düşündüm

Comments

Her $x$ pozitif reel sayısını $e^{\ln{x}}$ olarak yazabiliriz. Öyle yazarsanız aynı ifade olduğunu görürsünüz.

İfadelerdeki fark olarak en geniş tanım kümelerini gösterebiliriz. Mesela ilk ifadede $x=0$ koyabiliriz fakat ikincisinde $\ln{0}$ ifadesi ortaya çıkar (aslında negatif sonsuz olarak düşünürsek sorun çıkmaz ama yine de tanımsız diyip geçelim).

---

Fonksiyonlar da aslında birer kümedir, dolayısıyla 2 fonksiyonun eşitliği 2 kümenin eşitliği demek. Dolayısıyla o 2 ifade eşit olmayabilir veya aşağıdaki cevaptaki gibi eşit olabilir, tanım kümesini tanımlarsanız.

Ayrıca $f:\mathbb R\to \mathbb R,\quad f(x)=x^2$ ile $g:{0}\to\mathbb R,\quad g(x)=x^2$ aynı kuralla verilmiş olsalar da aynı fonksiyonlar degildir. Soldaki sonsuz noktadan oluşur ancak sağdaki fonksiyon sadece $\{(0,0)\}$'dan oluşur.

---

$x^{\ln2}$ de $x$ yerine 0 yazmak da sorunlu, çünki $\ln2$ irrasyoneldir ve irrasyonel üsleri kolayca (logaritma kullanmadan) tanımlayamıyoruz.

Answer 1

$\forall x>0,$   $x^{\ln2}=2^{\ln x}\iff  \ln (x^{\ln2})=\ln(2^{\ln x})\iff \ln2\ln x=\ln x\ln2$

Comments

Aslında 2 yerine herhangi bir pozitif sayı olsa da doğru, ispatı aynı:

$\forall\ a,b>0$ için $a^{\ln b}=b^{\ln a}$  olur.