Ilginc bir gozlem

Question

Su $\mathbb{R}^+\cup\{0,\infty\}$ kumeye $\mathcal{R^+}$ diyelim ve su yapiya bakalim $(\mathcal{R},+,\cdot,\downarrow)$

Burada $+$ ve $\cdot$ alisageldigimiz islemler.

$\downarrow : \mathcal{R^+}\times\mathcal{R^+} \to\mathcal{R^+}$ ise

$(x,y) \mapsto \min(x,y)$ seklinde verilsin.

 

Kumedeki her $a,b$ ve $c$ icin sanirim sunlar dogru

1. $a \downarrow b = b \downarrow a$
2. $a \downarrow a = a$
3. $\infty \downarrow a = a$
4. $0 \downarrow a = 0$
5. ( $a \downarrow b ) \downarrow c = a \downarrow ( b \downarrow c )= a \downarrow b \downarrow c$
6. ( $a \downarrow b ) \cdot c = (a \cdot c) \downarrow ( b \cdot c )$
7. ( $a \downarrow b ) + c = (a + c) \downarrow ( b + c )$

Neredeyse hangi islemi cikarirsam cikarayim halka olacak. Bu tarz bir yapi goren oldu mu daha once, bir adi varsa okumak isterim? Ne tarz teoremlerin dogru olmasini bekleriz?

Comments

Bir sürü sorum var.

Bir halkanın öncelikle bir Abelyen grup yapısı olmalı altta yatan.

• Toplama işlemi bu yapıyı vermiyor. Negatif sayılar yok.
• Çarpma işlemini anlayabilmiş değilim ama eğer "bildiğimiz" kurallara göre tanımladıysak $0 \times \infty = 1$ olmalı. Zira diğer her elemanın halihazırda çarpımsal tersleri var ve $0 \times 0 \neq 1$ olduğunu biliyoruz. Ama eğer bu koşulu koyarsak, associativity bozuluyor: $2 \times (0 \times \infty) = 2 \times 1 = 2$ iken $(2 \times 0 )\times \infty = 0 \times \infty = 1$ oluyor. Yani çarpma işlemi de abelyen grup yapısı vermiyor.
• Minimum işleminde de $\infty$ birim eleman ama hiçbir elemanın tersi yok.

Hiçbir yapı grup yapmıyor bu arkadaşı dolayısıyla ortada bir halka yok. Peki ne var?

---

2.5 tane degismeli birbiri ustune dagilan monoid ?

---

Bir baska yandan $\mathbb{R^+}$yi , $\mathbb{R^-}$, minimumu maximuma cevirirsek, gene ayni yapi geliyor . belki $(\mathbb{R} \cup\{\pm \infty\},+,\cdot,\uparrow,\downarrow)$ a bakmak gerekiyodur ama dagilmayi kaybettik sanirim buda pek hos degil

---

Ozgur yapimi biraz degistirdim. 2. soruna cevap niteliginde. 1. ve 3. soruna hala cevabim yok ama affedilebilir eksiklikler olarak niteliyorum onlari

$(kume,islem_1,islem_2,islem_3,islem_4,,1_1,1_2,1_3,1_4,0_1,0_2,0_3,0_4)$

$(\mathbb{R}^+\cup\{0,\infty\},+,\uparrow,\downarrow,\cdot, [ 0,  0,  \infty,  1]_1, [\infty,\infty,0,\{0,\infty\}]_0)$

$0$, $\uparrow$ ve $+$ isleminin etkisiz elemani, $\downarrow$ ve $\cdot$ isleminin yutan elemani

$\infty$, $\downarrow$ isleminin etkisiz elemani, geri kalanlarin hepsinin yutan elemani.

Toplamada her alamanin tersi yok belki ama, diger iki yeni islemimiz idempotent.

Carpma isleminde her elemanin tersinin olmasini istiyoruz, (diger islemlerdeki birim elemanlar) haric, ki sanirim bu saglaniyor. Bunun disinda bi birim elemanlarin carpma da yutan eleman olmasini istiyoruz bu da saglaniyor

$\uparrow$ ve $\downarrow$ herseyin ustune dagiliyor. bence eglenceli ozellikleri oldu

mesela

$(a\uparrow b)?(a\downarrow b) = a?b$   $?$ yerine bu yapidaki herhangi islemi koyabilirsiniz

---

Tüm gerçel sayılar için tanımı $\min(|x|,|y|)$ olarak alırsak ne olur? sorusu da aklımda.

---

@Sercan dagilma ozelligi kaybolmaz mi oyle yaparsak ?
$min(|x|,|y|) + z  = min(|x+z|,|y+z|)$ istiyoruz sanirim ama
$min(|-1|,|0|) + -1 = -1$
$min(|-1-1|,|0-1|) = 1$

Benim yeni verdigim ornekte hala sanirim $0\cdot \infty$ ne olmali sorusu bir seyleri kiriyor gibime geliyor ama neyi kiiyor emin degilim.

$0 \cdot \infty = \infty$ dersek

$( \infty \downarrow b ) \cdot 0 = \infty = ( \infty \cdot 0 ) \downarrow (b \cdot 0 )$

$( \infty \uparrow b ) \cdot 0 =\infty = ( \infty \cdot 0 ) \uparrow (b \cdot 0 )$

$( 0 \downarrow b ) \cdot \infty = \infty = ( 0 \cdot \infty ) \downarrow (b \cdot \infty )$

$( 0 \uparrow b ) \cdot \infty = \infty = ( 0 \cdot \infty ) \uparrow (b \cdot \infty )$

bir seyler kirilacak diye bekliyordm ama yazdiktan sonra farkettim ki tutuyor ozdeslikler