Cantor kumesi ve ilginc ozellikleri

0 beğenilme 0 beğenilmeme
570 kez görüntülendi

Cantor kumesi nedir? Bir kac ilginc ozelliginden bahseder misiniz?

23, Kasım, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Sercan (23,218 puan) tarafından  soruldu
24, Kasım, 2015 Sercan tarafından düzenlendi

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

Soru sanırım $[0,1]$ aralığıyla başlayıp her aralığın üçte birlik orta açık aralığının özyinelemeli olarak silinmesi sonucu elde edilen Cantor kümesi ile alakalı ama ben soruyu genelleyip Cantor uzayı için cevap vereyim (zira bütün bu uzaylar birbirine homeomorfikler).

Teorem: Tamamen bağlantısız, mükemmel, tıkız ve metriklenebilir boş olmayan topolojik uzayların hepsi birbirine homeomorfiktir.

Bu topolojik uzaylara da genel olarak Cantor uzayı denir. Mesela $2=\{0,1\}$ kümesine ayrık topoloji koyup $2^{\mathbb{N}}$ kümesi çarpım topolojisiyle ele alınırsa bu uzay bir Cantor uzayıdır. Bu uzaydan Cantor kümesine giden $(a_i) \mapsto \Sigma_{k=0}^{\infty} \frac{2a_k}{3^{k+1}}$ fonksiyonu da bir homeomorfizmdir. Dolayısıyla bildiğimiz Cantor kümesi de bir Cantor uzayıdır.

Ne işe yarar kısmı cevabı çok uzun bir soru olduğundan cevaplamaya teşebbüs etmeyeceğim ama Cantor kümesinin (ve genel olarak Cantor uzaylarının) ilginç özellikler gösterdiğini bilmekte fayda var.

Mesela Cantor kümesi gerçel sayıların bir alt kümesi olarak Lebesgue ölçümü sıfır, cılız (meager) ve sayılamaz bir kümedir. (Öte yandan Cantor uzayı tam bir topolojik uzay olduğundan dolayı Baire kategori teoremi gereği kendi içinde cılız değil.)

Cantor kümesini kullanarak, mesela, $[0,1]$ aralığı üzerinde sürekli, hemen her yerde sıfır türeve sahip ve görüntü kümesinde $[0,1]$ aralığındaki her değeri alan azalmayan bir fonksiyon inşa edebilirsiniz. Buna da Cantor fonksiyonu deniyor.

23, Kasım, 2015 Burak (1,254 puan) tarafından  cevaplandı
2, Aralık, 2015 Sercan tarafından seçilmiş
...