Yerel bazlara dair

Question

$(X,\tau_1),(Y,\tau_2)$ topolojik uzaylar,  $f:X\to Y$ fonksiyon, $x\in X$  ve  $\mathcal{B}(x)\subseteq 2^X$  olsun.

$(\mathcal{B(x)},  x\text { 'de yerel baz})(f, \ \text{homeomorfizm})\Rightarrow \mathcal{B(f(x))}:= \{f[B]|B\in\mathcal{B(x)}\}, \  f(x)\text {'de yerel baz.}$

 

NOT:

$1)$ $(X,\tau)$  topolojik uzay, $x\in X$  ve  $\mathcal{B(x)}\subseteq 2^X$ olsun.

$$\mathcal{B}(x), \ x\text{'de yerel baz}:\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{llc}  1) & \mathcal{B}(x)\subseteq \mathcal{N}(x) &  \\  \\  2) &    (∀N∈\mathcal{N}(x))(∃B\in \mathcal{B}(x))(B⊆N)  \end{array}\right.$$

$2)$  $\mathcal{N}(x):=\{N|(\exists T\in \tau)(x\in T\subseteq N)\}$

Answer 1

$\mathcal{B}(x), \ x\text{'de yerel baz}$  olsun.Amacımız;  $\mathcal{B(f(x))}$ ' in  f(x) ' de yerel baz olduğunu göstermek.

Dolayısıyla yerel baz tanımı gereği

                                                         $\mathcal{B}f(x))\subseteq \mathcal{N}f((x))$

ve    

                                                         $(∀N∈\mathcal{N}f((x)))(∃B\in \mathcal{B}f((x)))(B⊆N)$

önermelerinin doğru olduğunu göstermeliyiz.

İlk olarak               

                           $\mathcal{B}f(x))\subseteq \mathcal{N}f((x))$

olduğunu gösterelim.Bunun için $\mathcal{B}f(x))$ ailesinin her elemanının $\mathcal{N}f((x))$ ailesine ait olduğunu göstermeliyiz.Şimdi $\mathcal{B}f(x))$ ailesinden keyfi bir eleman alalım.Bu eleman $A\in \mathcal{B}f((x))$ olsun.

$A\in \mathcal{B}f((x)) \Rightarrow (\exists B\in\mathcal{B}(x))(A=f[B])$

                  $\Rightarrow (B\in \mathcal{N}(x))(A=f[B])$

 $\left.\begin{array}{rr} \Rightarrow(\exists U\in\mathcal{U}(x)) (U\subseteq B)(A=f[B]) \\ \\ f, \text{ homeomorfizm}\Rightarrow f, \text{ açık}\end{array}\right\} \Rightarrow$

$\Rightarrow (f[U]\in\mathcal{U}(f(x))) (f[U]\subseteq f[B]=A) \Rightarrow A\in\mathcal{N}(f(x))$

Dolayısıyla 

                          $\mathcal{B}f(x))\subseteq \mathcal{N}f((x)) \ldots(1)$

önermesi doğru olur.

Şimdi de 

                             $(∀N\in \mathcal{N}f((x)))(∃B\in \mathcal{B}f((x)))(B⊆N)$

önermesinin doğru olduğunu gösterelim.Bunun için $N\in \mathcal{N}f((x)))$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr}N\in\mathcal{N}(f(x))\Rightarrow (\exists U\in\mathcal{U}(f(x))(U\subseteq N) \\ \\ f,  \text{ homeomorfizm} \end{array}\right\}\Rightarrow \begin{array}{cc}\mbox{} \\ \mbox{} \\ \left.\begin{array}{rr} (f^{-1}[U]\in U(x)) (f^{-1}[U]\subseteq f^{-1}[N])\\ \mbox{} \\ *\end{array}\right\}\Rightarrow \end{array}$

$\left.\begin{array}{rr} \Rightarrow (f^{-1}[N]\in \mathcal{N}(x)) \\ \mbox{} \\ \mathcal{B}(x), \ x\text{'de yerel baz} \end{array}\right\} \Rightarrow$

$\Rightarrow (\exists B\in \mathcal{B}(x))(B\subseteq f^{-1}[N])$

$\left.\begin{array}{rr} \Rightarrow (\exists B\in \mathcal{B}(x))(f([B]\subseteq f[f^{-1}[N]]=N \\ \mbox{} \\ \mathcal{B}(f(x)):=\{f[B]|B\in\mathcal{B}(x)\} \end{array}\right\} \Rightarrow$

$\left.\begin{array}{rr} \Rightarrow (f[B]\in\mathcal{B}(f(x)))(f[B]\subseteq N )\\ \mbox{} \\ \mathcal{B}:=f[B] \end{array}\right\} \Rightarrow$

$\Rightarrow (B\in \mathcal{B}(f(x))(B\subseteq N) \ldots(2)$

(1) ve (2) gereği kanıt biter.

 

NOT:  * daki geçiş, $(U\in \mathcal{U}(x))(U\subseteq f^{-1}[N] \Rightarrow f^{-1}[N]\in \mathcal{N}(x))$