Homeomorfizmaya Dair-XV

Question

$(X,\tau_1),(Y,\tau_2)$ topolojik uzaylar, $f:X\to Y$ fonksiyon ve $\mathcal{B}\subseteq 2^X$ olsun. $$(\mathcal{B},  \ \tau_1 \text{ için baz})(f, \ \text{homeomorfizm})\Rightarrow \mathcal{B}':=\{f[B]|B\in\mathcal{B}\}, \ \tau_2 \text{ için baz}$$ olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$\mathcal{B},  \ \tau_1$  için baz ve $f:X\to Y$ fonksiyonu $(\tau_1\text{-}\tau_2)$ homeomorfizm olsun. Amacımız $$\mathcal{B}':=\{f[B]|B\in\mathcal{B}\}$$ ailesinin $\tau_2$ topolojisi için baz olduğunu göstermek. Dolayısıyla baz tanımı gereği $$\mathcal{B}'\subseteq \tau_2$$ ve $$(\forall T'\in\tau_2)(\exists \mathcal{A}'\subseteq \mathcal{B}')(T'=\cup\mathcal{A}')$$ önermelerinin doğru olduğunu göstermeliyiz.

İlk olarak $$\mathcal{B}'\subseteq \tau_2$$ olduğunu gösterelim. Bunun için de $\mathcal{B}'$ ailesinin her elemanının $\tau_2$ ailesine ait olduğunu göstermeliyiz. Şimdi $\mathcal{B}'$ ailesinden keyfi bir eleman alalım. Bu eleman $B'\in\mathcal{B}'$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr}B'\in\mathcal{B}'\Rightarrow (\exists B\in\mathcal{B})(B'=f[B]) \\ \\ \mathcal{B}, \tau_1 \text{ için baz}\Rightarrow \mathcal{B}\subseteq \tau_2 \end{array}\right\}\Rightarrow \begin{array}{cc}\mbox{} \\ \mbox{} \\ \left.\begin{array}{rr} (B\in\tau_2)(B'=f[B]) \\ \mbox{} \\ f, \text{ homeomorfizm}\end{array}\right\}\Rightarrow B'\in\tau_2\end{array}$

O halde $$\mathcal{B}'\subseteq \tau_2\ldots (1)$$ önermesi doğru.

 

Şimdi de $$(\forall T'\in\tau_2)(\exists \mathcal{A}'\subseteq \mathcal{B}')(T'=\cup\mathcal{A}')$$ önermesinin doğru olduğunu gösterelim. Bunun için de keyfi $T'\in\tau_2$ alalım.

$\left.\begin{array}{rr} T'\in\tau_2 \\ \\ f, \text{ homeomorfizm}\Rightarrow f, \text{ sürekli} \end{array}\right\}\Rightarrow \begin{array}{cc}\mbox{} \\ \mbox{} \\ \left.\begin{array}{rr} f^{-1}[T']\in\tau_1 \\ \mbox{} \\ \mathcal{B}, \tau_1 \text{ için baz}\end{array}\right\}\Rightarrow \end{array}$

$\left.\begin{array}{rr} \Rightarrow (\mathcal{A}\subseteq \mathcal{B})(f^{-1}[T']=\cup \mathcal{A}) \\ \\ f, \text{ homeomorfizm}\Rightarrow f, \text{ açık}\end{array}\right\} \Rightarrow$

$\left.\begin{array}{rr} \Rightarrow (\{f[A]|A\in\mathcal{A}\}\subseteq \{f[B]|B\in\mathcal{B}\}=\mathcal{B}')(T'\overset{f, \text{ örten}}{=}f[f^{-1}[T']]=f[\cup\mathcal{A}]=\cup_{A\in\mathcal{A}} f[A]) \\ \mbox{} \\ \mathcal{A}':=\{f[A]|A\in\mathcal{A}\} \end{array}\right\} \Rightarrow$

$\Rightarrow (\mathcal{A}'\subseteq\mathcal{B}')(T'=\cup\mathcal{A}').$