B, τ1 için baz ve
f:X→Y fonksiyonu
(τ1-τ2) homeomorfizm olsun. Amacımız
B′:={f[B]|B∈B}
ailesinin
τ2 topolojisi için baz olduğunu göstermek. Dolayısıyla baz tanımı gereği
B′⊆τ2
ve
(∀T′∈τ2)(∃A′⊆B′)(T′=∪A′)
önermelerinin doğru olduğunu göstermeliyiz.
İlk olarak
B′⊆τ2
olduğunu gösterelim. Bunun için de
B′ ailesinin her elemanının
τ2 ailesine ait olduğunu göstermeliyiz. Şimdi
B′ ailesinden keyfi bir eleman alalım. Bu eleman
B′∈B′ olsun.
B′∈B′⇒(∃B∈B)(B′=f[B])B,τ1 için baz⇒B⊆τ2}⇒(B∈τ2)(B′=f[B])f, homeomorfizm}⇒B′∈τ2
O halde
B′⊆τ2…(1)
önermesi doğru.
Şimdi de
(∀T′∈τ2)(∃A′⊆B′)(T′=∪A′)
önermesinin doğru olduğunu gösterelim. Bunun için de keyfi
T′∈τ2 alalım.
T′∈τ2f, homeomorfizm⇒f, sürekli}⇒f−1[T′]∈τ1B,τ1 için baz}⇒
⇒(A⊆B)(f−1[T′]=∪A)f, homeomorfizm⇒f, açık}⇒
⇒({f[A]|A∈A}⊆{f[B]|B∈B}=B′)(T′f, örten=f[f−1[T′]]=f[∪A]=∪A∈Af[A])A′:={f[A]|A∈A}}⇒
⇒(A′⊆B′)(T′=∪A′).