Homeomorfizmaya Dair-XIV

Question

$\mathbb{R}^2$ ve $\mathbb{R}^3$ üzerindeki alışılmış topolojiler sırasıyla $\mathcal{U}^2$ ve $\mathcal{U}^3$olmak üzere

$B=\{(x,y,z) | x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=1\} \setminus \{(0,0,2)\} \subseteq \mathbb{R}^{3}$ ise

$(B, \mathcal{U}_{B}^3) \cong (\mathbb{R}^2, \mathcal{U}^2)$ olduğunu gösteriniz.

Comments

Bu sey degil mi su an ayildim

Kurenin kuzey kutbuna lamba yerlestirelim kurenin duzlem uzerindeki golgesine bakalim. Stereografik projeksyon deniliyor sanirim. Hatta homeomorfizmadan fazlasi olmali, bijektif ve gicir, sanirim acilari da koruyor

Answer 1

Soruyu daha genel cozmek istedim.

$S^n = \{ (x_1, \cdots,x_{n+1})|\sum x_i = 1\}$ olsun. ($n+1$ boyutta kure)

$L = (1,0,0,\cdots,0)$ lambayi yerlestirdigimiz yer olsun.

$S^n \setminus L$ ile $\mathbb{R}^n$ arasinda homeomorfizma yazacagim.

$\pi : S^n \setminus L  \to \mathbb{R}^n$

$\pi((x_1, \cdots,x_{n+1}) = \frac{1}{1-x_1}(0,x_2,\cdots,x_{n+1})$

biraz ugrasarak gosterilebilir ki $\pi$ bir bijeksiyon ve tersi

$\pi^{-1}((x_1, \cdots,x_{n}) = \frac{1}{1 + \sum x_i^2}(2x_1,\cdots,2x_n,-1+\sum x_i^2)$
[duzenleme :ters prokeksyonda ortak bolme faktorunde toplamanin icine kare yazmayi unutmustum]
(iki fonksyonun sagdan ve soldan bilesimlerine bakilip $\mathbb{\text{id}}$ elde edildigi gosterilebilir)

Dikkat ederseniz kullandigimiz $\pi$ ve tersini yazmak icin kullandigimiz butun fonksyonlar surekli (toplama carpma etc.). Surekli fonksiyonlarin bilesimi surekli oldugu icin

$\pi$ ve $\pi^{-1}$ surekli diyebiliriz. Boylece homeomorfizma oldugunu gostermis olduk.

 

Zamanim oldugunda 3 boyutta bir kure icin gif ini de ekleyecegim

tam kafama yatan bir animasyon yaratamadim. Denemelerim icin su soruya bakabilirsiniz