Birebir Fonksiyon

Question

$\mathbb{R}^2$ uzayında $A:= \{(x,y) | \max\{|x|,|y|\}=1 \}$ ve $S^{1}:=\{(x,y) | x^{2}+ y^{2}=1\}$ altkümeleri verilsin.

$f:S^{1} \rightarrow A$ olmak üzere

$f(x,y):=\left( \frac{x}{\max\{|x|,|y|\} }, \frac{y}{\max\{|x|,|y|\}}\right)$ kuralı ile verilen fonksiyon birebirdir. Gösteriniz.

Comments

$f: S^1 \rightarrow A$ fonksiyonu birebirdir $\Leftrightarrow$ $(\exists g: A \rightarrow S^1)$ $(g \circ f =I_{S^1})$ teoremini kullanarak yapmak istedim fakat yine tıkandım.

---

Sorunun homeomorfizma ile ilgisi var mı?

Kategorisi de uygun olmamış. Lisans daha uygun olmaz mı?

---

Bu aslında bir homeomorfizma sorusuydu hocam, sonradan bulmam kolay olsun unutmayayım diye o şekilde etiket koydum. Lisans; dediğiniz gibi daha uygun olabilir.

---

Bu konu lise matematiğinin en zor konusundan kaç kat daha zordur sizce?

---

Kişisel olarak cevap verecek olursam Kıyasama yapmak matıklı gelmiyor bence çünkü şimdiki gördüğün lisede " en kolay " konuyu bile ana sınıf öğrenciye "en zor " olabilir.

(en kolay kelimesi tırnak içinde aldım çünkü kışıye göre değişır ki kolay diye bir şey yor çok  zor da diye bir şey yok. Bence yapmayi sevmek diye bir şey var )

Tabıkıde bunlar benim düşüncelerım.. başka kışı kıyasama yapmak mantıklı bulabilir , O da onun düşşünceleri ve saygı duyarım. :)

---

$A= \{(x,y) :  |x| =1 \vee |y|=1 \}$ şeklinde de yazılabilir. $A\to S^1$ bir homeomorfizma mı istiyorsunuz ? öyleyse denk metrıklerde(norm) gidersek daha basit olabilir sanki çünkü  : $A = S_{||.||_\infty}((0,0),1)$ ve $S^1 = S_{||.||_2}((0,0),1)$ olur. $||.||_\infty$ ve $|| .||_2$ denk metrıklerdır.

---

@Faical Yacine Issaka ,

$\{(x,y) :  |x| =1 \vee |y|=1 \}\neq \{(x,y) | \max\{|x|,|y|\}=1 \}$

$(1,2)\in\{(x,y) :  |x| =1 \vee |y|=1 \}$ ama $(1,2)\notin\{(x,y) | \max\{|x|,|y|\}=1 \}$

$\{(x,y) : \max\{|x|,|y|\}=1 \}\subsetneqq \{(x,y) |  |x| =1 \vee |y|=1 \}$

---

Evet hocam şimdi farkettim biraz kaçırdım.. Fakat 2.ci yazdığım doğru olur mu? Tani norm uzatları sınırı?

---

@Faical Yacine Issaka,

Yazdıkların doğru ama bu soru için çok daha basit yöntemler yeterli.

Bu fonksiyonun tersi kolayca yazılabiliyor. Soru o şekilde çözülmeli.

---

Geometrik olarak ,yapılmak istenen şey, bir kare ile, onun içinde çizilen, kenarlara teğet olan çemberin noktalarının eşleştirilmesi.

Geometri yardımı ile, ters fonksiyonun formülünü bulmayı deneyin.

---

$g((x,y))=\big( \frac{x}{\sqrt {x^2 +y^2} }, \frac{y}{\sqrt {x^2 +y^2}}\big)$ fonksiyonu $f$ fonksiyonun tersidir. O halde f birebirdir ancak ve ancak $(g \circ f)((x,y))=(x,y)$ dir.

---

$(x,y) \in S^{1}$ aldığımızı ve haliyle $x^{2}+y^{2}=1$ olduğunu atlamışım. Teşekkür ederim yorumlar ve katkılar için.