$\mathbb{R}^n$'de her kapalı dışbükey küme basit bağlı mıdır?

Question

Öyle bir $n\in \mathbb{N}$ var mıdır ki, $\mathbb{R}^n$'de her kapalı (closed) dışbükey (convex) küme basit bağlı (simply-connected) olmasın?

Düşündüğüm karşı örnek adayı şu: 3 boyutta $\{(x,y,z)| x^2+y^2 \leq 1\}$ tüpü kapalı ve dışbükey, ama $\mathbb{RP}^3$'de görebilirsek basit bağlı değil. Soru şuna evrildi: projektif uzaylardan bir tanesi dışbükeyliği bozmadan $\mathbb{R}^n$'e gömülebilir mi?

Comments

Böyle bir $n$ var olamaz. İspatı çok basit. (EK: çünki tek noktaya büzülebilirdir)

Aslında daha geneli de doğru:

Bir noktaya göre yıldız şeklindeki her bölge basit bağlantılıdır.

(Poincare Lemması tam bunu ispatlar)

---

Tek noktaya büzülebildiğini kanıtlayamadım. Mesela vermeye çalıştığım örnekte büzemem gibi geldi bana.

---

Soruda,kümenin $\mathbb{R}^n$ de olduğu belirtiliyor.

Bir nokta seç, diğer noktaları düz bir çizgi üzerinden, yavaş yavaş o noktaya gönder.

---

O zaman, projektif bir uzayı $\mathbb{R}^n$'e gömüyorsak dışbükey kümeleri koruyamıyor olmamız gerekir. Bu doğru mu?

---

Projektif uzaylarda dışbükey (konveks) tanımını nasıl yapıyorsun?

---

$X, \mathbb{RP}^n$'in bir altkümesi olsun. Her $(x_0:\dots :x_n), (y_0:\dots :y_n) \in X$ için bu iki nokta (doğru) arasındaki doğru parçası (iki doğru arasında toplamlar cinsinden yazılabilen alan) yine $X$'teyse dışbükey demek istiyorum.

---

(EK: Şu soruya yorumumda yazmıştım) Projektif geometride, "arasında" anlamlı değildir (projektif dönüşümler tarafından korunmaz).

Doğrudan "homojen" kordinatlar cinsinden yazmaya çalış, ama (EK: bildiğimiz konvekslik gibi) olacağını sanmıyorum.

---

dogru yerine geodeziklerdeni kume icinde kalmasindan bahsetmek gerekmeyecek mi projektif uzayda ? sacmaliyor da olabilirim ama zamaninda ilgili soyle bir soru sormustum

---

O zaman, bir kümenin konveks olup olmaması metriğe göre değişecektir.

(Ayrıca, iki nokta arasında  birden çok jeodezik de var olabilir, hiç var olmayabilir gibi sorunlar çıkacak)

Örnek: $A=\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\subset \mathbb{R}^2$ da (standart Riemann metriği)  $(1,1),(-1,-1)$  noktalarını birleştiren bir jeodezik yok. Bu kümeye konveks mi diyelim, konveks değil mi diyelim?

Küreden bir meridyen çıkaralım (uçları kalsın). Burada da noktalar arasındaki jeodeziklerden bazıları bu kümeye ait, bazıları değil.

---

@DoganDonmez hocam konu ile ilgili biraz literatur taramasi yaptim. Wikiepedia ve ncatlab de konu ile ilgili girdiler buldum. Anladigim kadari ile jeodeziklerin biricikligini sart kosuyor verilen tanimlar. Guclu ve zayif konvexite gibi yeni kavramlar da getirmisler. Arastirmalarim sonucunda bildigimiz anlamdaki konveks kumelerde gecen teorilerin bazilarinin genellestirmelerinin de bu konu icin varoldugunu gordum. Tabii bu soruda aranan bu mu bilmiyorum

---

Soruda,kümenin $\mathbb{R}^n$ de olduğu belirtiliyor.

Bir nokta seç, diğer noktaları düz bir çizgi üzerinden, yavaş yavaş o noktaya gönder.

demiştiniz. Ya bounded değilse?

---

Herhangi bir noktanın sabit noktaya uzaklığı ile doğru orantılı bir hızla yapılabiliyor.

Örneğin, sınırlı olmayan büzülebilir kümeler var ($\mathbb{R}^n$ gibi) oradaki gibi.