Lineer Normalli bir yüzeyin (LN-yüzey) umbilik noktaları

Question

Bir LN-yüzey $u$  ve  $v$   yüzey parametreleri ve $f=f(u,v)$  rasyonel veya polinomiyal fonksiyon olmak üzere normali   $$N(u,v)=(f_{u u}f_{vv}-f^2_{u v})(u,v,1)$$ şeklinde yazılabilen bir yüzeydir. Bu yüzeyin şekil operatörü matrisi (matris hesabı için Ökkeş Dülgerci'ye çok teşekkürler) aşağıdaki gibidir:

$S=\dfrac{1}{(u^2+v^2+1)^{3/2}(f^2_{u v}-f_{vv}f_{u u})} \begin{bmatrix} -(v^2+1)f_{vv}-uvf_{uv} &   (u^2+1)f_{u v}+uvf_{vv} \\(v^2+1)f_{u v}+uvf_{vv} &   -(u^2+1)f_{u u}-uvf_{uv} \end {bmatrix}$

$$-(v^2+1)f_{vv}-uvf_{uv}=1,    -(u^2+1)f_{u u}-uvf_{uv}=1$$    ve $$(u^2+1)f_{u v}+uvf_{vv}=0    ,  (v^2+1)f_{u v}+uvf_{vv}=0$$ olması durumunda umbilik noktaları karakterize etmek istiyorum. Son iki eşitlikten  $u^2-v^2=0$  bulunur. İlk iki eşitlik birbirinden çıkartılır ve  $u^2-v^2=0$  olduğu kullanılırsa $$f_{u u}=f_{vv}$$  eşitliğine ulaşılır. $u^2-v^2=0$  şartı altında $f(u,v)=u^n+v^n$ şeklindeki fonksiyonlar bu eşitliği sağlıyor gözüküyor. Amacım bu şartları sağlayan tüm rasyonel veya polinomiyal fonksiyonları bulmak. Özet olarak  $u^2-v^2=0$  şartı altında $$f_{u u}=f_{vv}$$ diferensiyel denkleminin tüm çözümleri nelerdir? Teşekkürler.

Comments

Bu bildigimiz dalga denklemi degilmi? Ve genel cozumu $f(u,v)=g(u-cv)+h(u+cv)$ dir. $g=h=\sin$ secilirse denklemi saglar.  $f(u,v)=A\sin(u-cv)+B\sin(u+cv)$ dir. Sizin durumda $c=1$. Tabi siz polinom tipi cozum ariyorsunuz, belki Taylor acilimi isinizi gorur?