Hangi adımda hata var ?

Question

$i\in \mathbb{C}$,

1)  $i=i$

2) $i=i^\dfrac{4}{4}$

3) $i=(i^4)^ \dfrac{1}{4}$

4) $i = 1^ \dfrac{1}{4}$

5) $i = 1$

Answer 1

3. adım hatalıdır.

 

$z\neq 0$ bir karmaşık sayı ve $m,n \in \mathbb Z^+$ ise $(z^{n})^{\frac{1}{m}} = (z^{\frac{1}{m}})^{n} = z^{n\cdot \frac{1}{m}}$ olması gerekmez. Çünkü $z$'nin $m$-inci dereceden kökü $m$ farklı değere sahiptir. Farklı karmaşık sayıların $n$-inci kuvvetlerinin aynı olması gerekmez.

 

Fakat eşitiğin sağlandığı örnekler de vardır. Gerçel saylarda $x\geq 0$ için kök alma işlemi yapıyorsak $x^{\frac{1}{m}}$ tek değerli olduğu için $(x^{n})^{\frac{1}{m}} = (x^{\frac{1}{m}})^{n} = x^{n\cdot \frac{1}{m}}$ eşitliği sağlanır. Negatif olmayan gerçel sayılar kümesindeki bu eşitlik, karmaşık sayılarda (genel olarak) geçerli değildir.