$T_0$ uzayı üzerine

Question

$\mathbb{R}$ gerçel sayılar kümesi ve $\tau=\{U\subseteq\mathbb{R} : 0\in U \text{ ya da } 1\notin U\}$ olduğuna göre $(X,\tau)$ topolojik uzayı bir $T_0$ uzayı mıdır?

Topolojisinin elemanları ne tarzda tam olarak onu da anlayamadım, yardımcı olabilirseniz çok iyi olur, teşekkürler

Comments

0'ı içeren her küme açık (1'i içerse de içermese de)

1'i içermeyen her küme de açık (0'ı içerse de içermese de)

Mesela $\{4\}$ kümesi açık çünkü $1$'i içermiyor.

---

Şu şekilde değil mi, 0’ı içerecek ya da 1’i içermeyecek, bu ikisi aynı anda olmayacak, yani mesela [0,1) bu kümede açık değildir ? 0’ı içeriyor aynı anda 1’i de içermiyor ? Yani ikisinden birini sağlıyorsa gibi yorumlamamız gerekmez mi? Mesela sıfır’ı içeren her küme açık demişsiniz ama benim yorumlamama göre [0,1) açık değildir? Mesela [1/2,3/2] açık mıdır buraya göre ?  Ayrıca T0’lığı ile ilgili ne söyleyebilir?

---

$T_0$ uzay tanımını yazabilir misin?

---

$(X,\tau)$ topolojik uzay olmak üzere , birbirinden farklı her $x,y\in X$ için $x\in G, y\notin G$ veya $x\notin G, y\in G$ olacak şekilde bir $G\in\tau$ var ise, uzay T0’dır

---

$[0,1)$'de açık. Matematikte A veya B dediğimizde "ya A ya da B, ama ikisi birden olamaz" demiyoruz. Ikisi birden de olabilir.

---

Fakat burada “ya da” diyor, o yüzden ikisini aynı anda alamıyoruz sanıyorum

---

or : veya $(\vee)$

xor : ya da $(\veebar)$

---

kitabın çevirisine göre değişen bir şey o halde, xor(exclusive or) “ya da” olarak kabul edersek ne oluyor durum, bunu sormak istemiştim

---

@murad.ozkoc aa hiç bilmiyordum. Kötü bir çeviri bence çünkü Türkçe'de veya ile ya da arasında bir fark yok.

---

@ozgur, eğer (xor) olarak düşünürsek, yardımcı olabilir misiniz ? @murad.ozkoc

---

Türkçe'de bu durumun nasıl olduğunu daha önce araştırmıştım. Türkçe alanında çalışan akademisyen bir arkadaşım "ya da" bağlacının "ya ... ya da ... " şeklinde bir kullanımının olduğunu söylemişti. Ve iki şeyden sadece birinin olması anlamında kullanıldığını ifade etmişti. Bu bilgiden hareketle derslerimde özellikle soyut matematik dersinde "or" için "veya", "xor" için de "ya da" bağlacını kullanmayı tercih ediyorum.

---

"ya da" bağlacının "xor" yani "exclusive or" anlamında kullanıldığını düşünürsek bu uzayda $\mathbb{R}$ gerçel sayılar kümesinin bir $A$ altkümesinin açık olması için $A$ kümesinin ya $0$ sayısını içermesi ya da $1$ sayısını içermemesi gerekecek yani ikisinden sadece birini sağlaması gerekecek yani $$A\in \tau\Leftrightarrow (0\in A\veebar 1\notin A).$$

Bu durumda örneğin $A=\{0\}$ kümesi, hem $0$'ı içerdiğinden hem de $1$'i içermediğinden (xor bağlacının tanımı gereği) bu uzayda bir açık küme olmayacaktır. Öte yandan hem $0$'ı hem de $1$'i içeren $\mathbb{R}$'nin her altkümesi bu uzayda açık bir küme olacaktır. Ayrıca hem $0$'ı hem de $1$'i içermeyen kümelerin de bu uzayda açık küme olacağını kolayca görebilirsiniz.

 

"ya da" bağlacının "or" anlamında yani "veya" anlamında kullanıldığını düşünürsek bu uzayda $\mathbb{R}$ gerçel sayılar kümesinin bir $A$ altkümesinin açık olması için $A$ kümesinin $0$ sayısını içermesi veya $1$ sayısını içermemesi gerekecek yani $$A\in \tau\Leftrightarrow (0\in A\vee 1\notin A)$$ olacaktır. 

---

peki $[1/2,3/2]$ veya 1’i içeren 0’ı içermeyen bir küme burada açık mıdır ? 

---

Sizce açık mıdır?

---

Tanıma göre, 0ı içerirken 1i içeren aynı zamanda 1i içermezken 0ı da içermeyen kümeler açık, sadece bu koşullardan bajsedebiliyoruz. dolayısıyla 1i içerip sıfırı içermeyen bir kümenin açık olmasından söz edemeyiz sanırım? Yani değildir , o halde bir T0 uzayı da olmaz , bu şekilde bir yorum doğru mudur ?

---

$\left[\frac12,\frac32\right]$ kümesi bu topolojik uzayda açık olmuyor. Peki neden $T_0$ uzayı olmuyor?

---

$0$’ı içerip 1’i içermeyen bir küme açık değil, diğer yandan 1’i içerip 0’ı içermeyen bir küme de yine aynı şekilde tanımına göre açık olamıyor, o yüzden $1\neq 0$ için bulamıyoruz böyle bir açık, sanırım bu şekilde 

---

Evet. Aynen böyle.