(⇒): (X,τ), T0 uzayı; x,y∈X, x≠y olsun ve y∈¯{x}∧x∈¯{y} olduğunu varsayalım.
y∈¯{x}∧x∈¯{y}⇒({y}⊆¯{x}∧{x}⊆¯{y})
⇒(¯{y}⊆¯¯{x}=¯{x}∧¯{x}⊆¯¯{y}=¯{y})
⇒¯{x}=¯{y}…(1)
(x,y∈X)(x≠y)(X,τ), T0 uzayı}⇒¯{x}≠¯{y}…(2)
(1),(2)⇒ÇELİŞKİ.
(⇐): x,y∈X, x≠y olsun ve ¯{x}=¯{y} olduğunu varsayalım. Buradaki linkte yer alan karakterizasyondan faydalanacağız.
(x,y∈X)(x≠y)⇒(x∈{x})(y∈{y})⇒({x}⊆¯{x})({y}⊆¯{y})¯{x}=¯{y}}⇒
⇒y∈¯{x}∧x∈¯{y}…(1)
(x,y∈X)(x≠y)Hipotez}⇒y∉¯{x}∨x∉¯{y}…(2)
(1),(2)⇒Çelişki.