$T_0$ Uzaylarının Karakterizasyonlarına Dair-II

Question

$(X,\tau)$ topolojik uzay olmak üzere

$$(X,\tau), \ T_0 \text{ uzayı}\Leftrightarrow (\forall x,y\in X)\left(x\neq y\Rightarrow \left[y\notin \overline{\{x\}}\vee x\notin\overline{\{y\}}\right]\right)$$

Answer 1

$(\Rightarrow):$ $(X,\tau), \ T_0$ uzayı; $x,y\in X, \ x\neq y$ olsun ve $y\in\overline{\{x\}} \wedge x\in\overline{\{y\}}$ olduğunu varsayalım.

 $y\in\overline{\{x\}} \wedge x\in\overline{\{y\}}\Rightarrow \left(\{y\}\subseteq \overline{\{x\}} \wedge \{x\}\subseteq \overline{\{y\}}\right)$

$\hspace{3.8cm}$$\Rightarrow \left(\overline{\{y\}}\subseteq \overline{\overline{\{x\}}}=\overline{\{x\}} \wedge \overline{\{x\}}\subseteq \overline{\overline{\{y\}}}=\overline{\{y\}}\right)$

$\hspace{3.8cm}$$\Rightarrow \overline{\{x\}}=\overline{\{y\}}\ldots (1)$

$\left.\begin{array}{rr} (x,y\in X)(x\neq y) \\ \\ (X,\tau), \ T_0 \text{ uzayı}\end{array}\right\}\Rightarrow \overline{\{x\}}\neq\overline{\{y\}}\ldots (2)$

$(1),(2)\Rightarrow \text{ÇELİŞKİ.}$

$(\Leftarrow):$ $x,y\in X, \ x\neq y$ olsun ve $\overline{\{x\}}=\overline{\{y\}}$ olduğunu varsayalım. Buradaki linkte yer alan karakterizasyondan faydalanacağız.

$\left.\begin{array}{rr}(x,y\in X)(x\neq y)\Rightarrow \left(x\in\{x\}\right)\left(y\in\{y\}\right)\Rightarrow \left(\{x\}\subseteq \overline{\{x\}}\right)\left(\{y\}\subseteq \overline{\{y\}}\right) \\ \\  \overline{\{x\}}=\overline{\{y\}}\end{array} \right\}\Rightarrow$

$\Rightarrow y\in\overline{\{x\}}\wedge x\in\overline{\{y\}}\ldots (1)$

$\left.\begin{array}{rr}(x,y\in X)(x\neq y) \\ \\  \text{Hipotez}\end{array} \right\}\Rightarrow y\notin\overline{\{x\}}\vee x\notin\overline{\{y\}}\ldots (2)$

$(1),(2)\Rightarrow \text{Çelişki.}$