Question

$x,y\in\mathbb{R}$ olmak üzere $$x=y\Leftrightarrow -x=-y$$ olduğunu gösteriniz.

Bu linkteki aksiyomlara sadık kalarak bir kanıt veriniz.

Answer 1

I. YOL: $(\Rightarrow):$

$$\begin{array}{rcl} x=y & \Rightarrow & (x,(-x)+(-y))=(y,(-x)+(-y)) \\ \\ &\Rightarrow & x+((-x)+(-y))=y+((-x)+(-y)) \\ \\ &\Rightarrow & (x+(-x))+(-y)=y+((-y)+(-x)) \\ \\ &\Rightarrow & 0+(-y)=(y+(-y))+(-x) \\ \\ &\Rightarrow & -y=0+(-x) \\ \\ &\Rightarrow & -y=-x.\end{array}$$

 

$(\Leftarrow):$ Gerek kısmın kanıtına benzer şekilde yapılır.

 

II. YOL: $(\Rightarrow):$ $x=y$ olsun.

$$\left.\begin{array}{rr} -x=(-1)\cdot x\\ \\ x=y\end{array}\right\}\Rightarrow -x=(-1)\cdot x=(-1)\cdot y=-y.$$

$(\Leftarrow):$ $-x=-y$ olsun.

$$\left.\begin{array}{rr} x=-(-x) \\ \\ -x=-y\end{array}\right\}\Rightarrow x=-(-x)=-(-y)=y.$$

 

SONUÇ: $$x\neq y\Leftrightarrow -x\neq -y$$