Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
642 kez görüntülendi

a,b>0 sabitler olsun.

Her x>0 için f(ax)=bf(x) sağlayan, ve her x>0 için türevlenebilen fonksiyonlar bulunuz.

Lisans Matematik kategorisinde (6.2k puan) tarafından  | 642 kez görüntülendi
Elbette, sadece, a,b1 durumu ilginç.

Türevlenebilme koşulu biraz kıstlayıcı.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

a=b olsa elbette çok kolay bir soru olurdu. Lineer (bir c sabiti için f(x)=cx) şeklindeki fonksiyonlar (ama sadece onlar DEĞİL) istenen koşulları sağlardı.

ab ve b1 için şöyle bir çözüm bulabiliriz:

r=logba olsun.

Koşulumuzu, (f(ax))r=br(f(x))r=a(f(x))r şeklinde yazarsak (bir c0 sabiti için) (f(x))r=cx eşdeğer olarak, f(x)=c1rx1r=Cx1r) fonksiyonlarının bu koşulu sağladığı ve her x>0 için türevlendiği görülür.

(r uygun ise c<0 da olabilir)

Fakat bunların dışında, istenen koşulları sağlayan başka fonksiyonlar da var.

Örneğin.

1xa aralığında (a<1 ise ax1 aralığında) türevlenebilen, g(a)=bg(1) olan ve 1 ve a da (tek taraflı) türevi 0 olan bir g fonksiyonu alalım. (örneğin g(x)=(x1)2(ax)2 böyle bir fonksiyondur, başka pek çok fonksiyon bulunabilir)

Her x>0 için,   akx<ak+1 olacak şekilde tek bir kZ vardır. f(x)=bkg(akx) olarak tanımladığımızda,

Her x>0 için f(ax)=bf(x) sağlandığı kolayca gösterilir. g(a)=bg(1) oluşundan f süreklidir.

xak (kZ) için türevlenebildiği de kolaydır.

Son olarak, x=ak (kZ) olduğunda sağdan ve soldan türevlerinin var (ve 0 a eşit) olduğunu göstermek de zor değil.

Soru: Başka böyle f var mıdır?

Soru: (ilk çözümdekiler dışında) C sınıfından (sonsuz kez türevlenebilen) böyle bir f bulunabilir mi?

(6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
Hocam soyle bir denemem oldu ama sonuna dogru tikandim

f(ax)=bf(x)

af(ax)=bf(x)

a2f(ax)=bf(x)

daha genel olarak

aidif(ax)dxi=bdif(x)dxi

yukaridaki fonksyonlarin hepsini bir x0 da degerlendirirsek

dif(x)dxi|x=x0=aibdif(ax)dxi|x=x0

gelir. Bunu kullanip f in taylor acilimini yazsak ve convergence radius a baksak olmaz mi ?
20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,838 kullanıcı