Kenarortay toplamları için en dar aralık

Question

Çevresi verilen bir üçgende kenarortay toplamlari için

$\dfrac{3}{2}u$< Va+Vb+Vc< 2u aralığı en dar aralık midir?Öyleyse bu aralıktaki tüm değerleri alabileceği nasıl gösterilir?

Comments

‎$\triangle ABC$ üçgeninde, $A$'ya ait kenarortay $[BC]$'yi $F$&'de kessin.‎

‎$[AF]$'yi uzatıp $ACNB$ bir paralelkenar olacak şekilde, $N$ noktasına uzatalım.‎

‎$\triangle ABN$ üçgeninde, $\left |  AN \right |  < \left |  AB \right |+\left |  BN \right |$ olduğundan, $2\left |  AF \right | <\left |  AB \right |+\left |  BC \right |$ ve $2V_a <b+c$'dir.‎

‎Benzer şekilde, $2V_b <a+c$ ve $2V_c <a+b$'dir.‎

‎$2 \left ( V_a+V_b+V_c \right ) <2 \left ( a+b+c \right )$‎

‎$V_a+V_b+V_c <2u$‎

‎ ‎

‎$\triangle ABC$ üçgeninde, kenarortayların kesim noktası $G$ olsun.‎

‎$\left |  BG \right |+\left |  CG \right |>\left |  BC \right |$ olduğundan,‎

‎$\dfrac{2}{3}V_b+\dfrac{2}{3}V_c>a$ ve benzer şekilde, $\dfrac{2}{3}V_a+\dfrac{2}{3}V_b>c$ ve $\dfrac{2}{3}V_a+\dfrac{2}{3}V_b>c$'dir.‎

‎$\dfrac{4}{3}V_a+\dfrac{4}{3}V_b+\dfrac{4}{3}V_c> a+b+c$‎

‎$V_a+V_b+V_c>\dfrac{3}{2}u$‎

 

‎$\dfrac{3}{2}u <V_a+V_b+V_c <2u$‎