$(X,\mathcal{P}(X))$ uzayı ayrılabilir uzay ise $X$ kümesi sayılabilirdir. Gösteriniz.

Question

$(X,\mathcal{P}(X))$ uzayı ayrılabilir uzay ise $X$ kümesi sayılabilirdir

Comments

Evet hocam

''Bir topolojik uzayın sayılabilir her yerde yoğun bir alt kümesi varsa bu topolojik uzaya ayrılabilir uzay denir''

---

Bu alt küme X olmak zorunda değil. Bir alt kümesi var (sayılabilir ve yogun-her yerde demek gereksiz).

---

Alt kümeyi ne seçmem gerekiyor peki hocam veya bir şey seçmeme gerek var mı

mesela rasyonel sayılar kümesi olarak alabilir miyim

---

1. Alt kümeyi seçmiyorsun. sedece, sayılabilir ve yoğun bir alt kümenin var olduğunu  biliyorsun. ($A$ diyebilirsin.)

2. P(X) nedir. Nasıl kullanabilirsin? Yoğun ne demek yazabilir misin?

---

A X in altkümesi verilsin.

Eğer A'nın kapanışının içi boş kümeden farklı ise burada o A kümesine yoğun küme denir.

---

Yoğunluk tanımı yanlış.

P(X) polinom değil. Kapalılık, yoğunluk hangi konuda karşımıza çıkar?

---

Tanım : A, bir X uzayının alt kümesi olsun. Eğer A nın kapanışı = X ise, A, X içinde her yerde yoğundur denir.

Yoğunluk derken bundan mı bahsediyorsunuz hocam. Yani her yerde yoğun olması için A nın kapanışının X e eşit olması lazım.

---

Evet yoğunluk tanımı bu.

Bir $P(X)$ i anlaman gerekiyor bu soruyu cevaplamak  için.

---

P(X) te kuvvet kümesi değil mi hocam ?

Ama ilişkiyi nasıl kurmam gerekiyor yani ispatı nasıl ilerletmem lazım

---

llk yazdığın etiket bir ipucu veriyor mu?

---

topoloji olduğunu mu göstermem gerekiyor yani ?

---

Soruda "topoloji olduğunu göstermek" diye bir cümle yok.

Kapanış nasıl tanımlanıyor?

---

A , X in alt kümesi olsun.

Ve xEX noktası verilsin. x noktasının her komşuluğunda , A kümesinin en az bir elemanı varsa x noktasına A kümesinin kapanışı denir.

Kapanışın tanımı bu şekilde hocam.

---

Sorudaki topoljiye göre bir kümenin kapanışını bulabilir misin?

---

(X,P(X)) topolojik uzayımızda A yı X in alt kümesi olarak alalım.

A nın kapanışı = X olmaz mı hocam.

kapanışı X olduğu için de X sayılabilirdir diyebilir miyiz

---

"kapanışı olduğu için de X sayılabilirdir diyebilir miyiz " demişsin.

$\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}$  dir. $\mathbb{R}$ sayılabilir mi?

---

Evet haklısınız hocam R sayılabilir değildir.

A nın kapanışını X olarak buldum ve A kümesi (X, P(X))  uzayında her yerde yoğun olduğunu gösterdim. Sonrasında X uzayının da ayrılabilir bir uzay olduğunu söyledim.

X in ayrılabilir bir uzay olduğunu ifade ettikten sonra artık X e sayılabilirdir diyebilir miyim?

---

"A nın kapanışını X olarak buldum ve A kümesi (X, P(X))  uzayında her yerde yoğun olduğunu gösterdim"

Bunlar soruda verilenler.

İpucu: $P(X)$ i nerede kullandın (mı)?

"X in ayrılabilir bir uzay olduğunu ifade ettikten sonra artık X e sayılabilirdir diyebilir miyim?"

(bir önceki yorumumdaki örneğe göre yanlış olan) bu sonuca nasıl vardın?

---

Hocam ayrılabilir olduğunu gösterdiğim için X e de bu yüzden sayılabilirdir demiştim ama o ifadem de mi yanlış

P(X) güç kümesi yani bütün topolojilere göre o kısımda kullandım

Hocam bu önermede asıl göstermem gereken ne tam olarak (X, P(X)) uzayının ayrılabilir uzay olduğunu göstermem yeterli olmaz mı?

---

Doğrudan ispat şöyle yapılır:

(X,P(X)) uzayı ayrılabilir uzay olduğu

kabul edilir

 X kümesinin sayılabilir olduğu

gösterilir.

(Başka ispat yöntemleri de vardır, ama bu durumda, bence, doğrudan ispat mümkün)

Answer 1

$(X,{P}(X))$ uzayında her alt küme kapalı olduğundan, her alt kümenin kapanışı kendisine eşittir. Dolayısıyla bu uzayda yoğun küme sadece $X$ dir. Uzay ayrılabilir olduğundan dolayı da sayılabilir yoğun bir küme vardır. Demek ki bu sayılabilir yoğun küme $X$ dir. Yani $X$ sayılabilirdir.