yakınsak dizi

0 beğenilme 0 beğenilmeme
101 kez görüntülendi
$x\in [0,1]$ bir reel sayı, $p$ de herhangi bir tamsayı olsun. $$x =\sum \frac{a_n}{p^n}\qquad 0\leq a_n<p$$ şartını sağlayan bir $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ dizisinin varolduğunu ispatlayın. Bu dizi tek midir?
22, Haziran, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Safak Ozden (3,393 puan) tarafından  soruldu
22, Haziran, 2015 DoganDonmez tarafından düzenlendi

Burada şart başlıkta yazıldığı gibi yakınsaklık mı, yoksa nedir?

seri de yakinsak mi olcak, tam anlayamadim..

Sanıyorum " = " unutulmuştu. Ben ekledim.

Bir de $a_n$ tamsayı olmalı herhalde.

$a_n=\frac{1}{n} $ ve $p=2$ almak yeterli

Anlaşılmıştır.

Doğan hocam sağolun.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

1) Tum $n>0$ icin $a_n=0$ ise $x=0$'dir. Tum $n>0$ icin $a_n=p-1$ ise $x=1$'dir. (Sadece geometrik toplam.) Bunlar da maksimun ve minimum degerleri verir.

2) $a,b \in \mathbb Z_{>0}$ icin $\frac ab$'yi inceleyelim. ( ayrica $a \leq b$). Hatta $p$'nin kuvvetlerini disari atalim, bu sadece oteleme yapar. Kisacasi $(b,p)=1$ olsun ($\frac 12=\frac 5{10}$ sekline cevirebilecegimizden, bolenleri de yok edebiliriz.)

Kisacasi $(a,p)=1$ olacak sekilde $\frac 1a$ icin boyle bir seri var mi? Bu da ilkogretimde ogrendigimiz $\frac 13=\frac 3{10-1}=0.3333\cdots$ ipucusunu dusunerek ispatlanabilir.

3) Bu aralitaki rasyonel sayilar yogun oldugundan hepsini yazabiliriz. (Tabi ek olarak $\mathbb Q_p$ cauchy, $p$ asal icin. Ispat kisa, ayni ispat asal olmayan icin de yapilabilir.).

4) iki tane esitleyince $a_n-b_n=0$ gelecek. ($\mathbb Q_p$'yi dusunursek de yapabiliriz.)

23, Haziran, 2015 Sercan (23,213 puan) tarafından  cevaplandı
...