Cauchy dizisi olup yakınsak olmayan bir örnek

0 beğenilme 0 beğenilmeme
3,125 kez görüntülendi

Cauchy dizisi olup yakınsak olmayan bir dizi örneği verebilir misiniz? İstediğim dizinin hiçbir yere yakınsamaması. Yani Cauchy dizisinin yakınsak olduğu ama yakınsadığı elemanın kümeye ait olmadığı tipinden örnekler istemiyorum.

2, Temmuz, 2015 Lisans Matematik kategorisinde abdyener (14 puan) tarafından  soruldu

Nerede çalışıyorsunuz? Sanırım $\mathbb R$'de değilsiniz. Zîrâ orada Cauchy olmak gerek-yeter şart yakınsaklık için.

Biraz kaba olacak ama uzayda problem yoksa (tamsa!) Cauchy dizisi yakınsar zâten.


2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

Böyle bir örnek bulmak imkansız, çünki

Teorem: $(X,d)$ bir metrik uzay olsun. $X\subseteq X'$ ve $d,\ d'$ nün kısıtlaması  olacak şekilde bir $(X',d')$ tam (yani her Cauchy dizisini yakınsak olan) metrik uzayı vardır.

$(X,d)$ deki bir  Cauchy dizisi $(X',d')$ de bir dizi olarak düşünüldüğünde de bir Cauhcy dizisi olacak ve yakınsak olacak!

İspatı oldukça mekanik bir şekilde ($\mathbb{Q}$ dan, Cauchy dizileri ile  $\mathbb{R}$ nin elde edilişinin Matematik Dünyası (2007 yılı) dergisinde anlatıldığı  gibi) yapılıyor.

Örneğin http://www.math.columbia.edu/~nironi/completion.pdf

veya 

http://math.northwestern.edu/~scanez/courses/berkeley/math104/fall11/handouts/completion.pdf

(ikisi de İngilizce)

2, Temmuz, 2015 DoganDonmez (3,534 puan) tarafından  cevaplandı
3, Temmuz, 2015 abdyener tarafından seçilmiş

Teşekkürler. 

O zaman tam olmayan metrik uzaylarda bir Cauchy dizisinin yakınsak olmama durumu sadece yakınsadığı elemanın o uzaya ait olmamasıyla açıklanıyor. Bunun sebebi de her metrik uzayın bir tamlanışı olduğu ve bu da uzaya ait olmayan elemanı bir şekilde uzaya dahil etmekle yapılıyor. Cauchy dizisi gerçekten yakınsak olmasaydı o uzayı tamlaştıramazdık. Doğru mu anladım acaba? 

0 beğenilme 0 beğenilmeme

1- $x_n=(1+\frac{1}{n})^n$ rasyonel dizisi Cauchy dizisidir ve rasyonel sayılar içinde limiti yoktur.

2- $x_n=1-\frac{1}{n}\in(0,1)$ dizisi Cauchy dizisidir ve limiti $(0,1)$ kümesi içinde değildir.

2, Temmuz, 2015 Safak Ozden (3,393 puan) tarafından  cevaplandı

Hic bir yere yakinsamasin demis, kumeye ait olmasa da. 

...