$(x^n)/n!$ dizisi hakkında

Question

Hocalarım tam olarak burada daha önce paylaşıldı mı bilmiyorum ama. Şu kanıya vardım: $0\leq \dfrac{x^{n}}{n!}\leq \dfrac{x^{x}}{\left( x-1\right) !{n}}$, burada $x,n\in \mathbb{N}$. Henüz kanıtlayamadım ama n üzerine tümevarımla gelir gibi geliyor. Tabii her tarafa limit koyarak dizinin yakınsaklığını test edebiliyoruz, amacım oydu.

Answer 1

N üzerine tümevarımla kanıt:

Öncelikle ifademizi tekrar yazalım, bu sefer x yerine a alacağım. Bir amacı yok, a ile daha kolay çalıştığımdan yaptım :)

$0\leq \dfrac{a^n}{n!} \leq \dfrac{a^a}{(a-1)!n}$ ve $\forall a>1, a\in \mathbb{R}$ ve $\forall n\geq 1,  n\in \mathbb{N}$

O halde bir kereliğe mahsus $a=2$ ve $n=1$ seçelim. $2 \leq 4$. Şimdi varsayalım ki, $\dfrac{a^n}{n!} \leq \dfrac{a^a}{(a-1)!n}$ $(1)$olsun ve bir adım daha ileri giderek, şunu gösterelim: $\dfrac{a^na}{(n+1)!} \leq \dfrac{a^a}{(a-1)!(n+1)}$ $(1)$. Şimdi bir kaç tane daha eşitsizlik yazıp onlar üzerinden tartışalım:

$Pf:$

$\dfrac{a^n}{(n+1)!} < \dfrac{a^na}{(n+1)}$ $(2)$, $a$ sayısı birden büyük olduğu için bu işlemi rahatça yapabiliyorum. Bu nokta hayli önemli aslında ve bu eşitsizliğin sağ tarafı da aslında kanıtını yapmak istediğimiz terimin sol tarafı $(3)$, Bundan başka tabii ki şunu da diyebiliriz: "$(2)$yi ve $(3)$'ü birleştirelim." O halde:

$\dfrac{a^n}{(n+1)!} < \dfrac{a^na}{(n+1)}\leq \dfrac{a^a}{(a-1)!(n+1)}$ Bu noktadan sonra sağ tarafa daha farklı terimler ekleyebiliriz, fakat gerek yok. bu üç adet ifadeyle bir şekilde oynamalıyız.

$\dfrac{a^n}{(n+1)!} \leq \dfrac{a^a}{(a-1)!(n+1)}$ Burada tekrar her iki terimimiz de ne olursa olsun pozitif olduğu için gerekli sadeleştirmeleri hiç korkmadan yapabailiriz!

$\dfrac{a^n}{n!}\leq\dfrac{a^a}{(a-1)!}$ Şimdi burada da görüleceği üzere sol taraf $(1)$in ta kendisi! Fark edilmesi gereken ise şudur sağ taraftaki ifadenin altında bir adet gizli $1$ var. O halde zaten $n$ sayısı da $n\geq1$di, rahatça yazabilriiz ki:

$\dfrac{a^n}{n!}\leq\dfrac{a^a}{(a-1)!}\leq\dfrac{a^a}{(a-1)!n}$ İfadenin sağ ve sol tarafları tanıdık gelmiştir umarım. Evet, o ifadeler $(1)$ O halde:

$\dfrac{a^n}{n!} \leq \dfrac{a^a}{(a-1)!n}$ olur ve kanıtımız biter. ∎

Comments

Örnek(1):

$\dfrac{4^n}{n!}$ dizisinin limiti nedir?

Çözüm:

Yukarıdaki hale çevirip her tarafa limit eklemek yeterli olacaktır. Bu sayede tatmin edici bir lmiit almış olacağız. çünkü $\dfrac{a}{n}$ cinsindeki limit değerinin sonsuzda 0 olduğunu biliyoruz.

Yukarıdaki hale çevirelim. 

$0\leq\dfrac{4^n}{n!}\leq \dfrac{4^4}{(4-1)n}$ haliyle:

$\lim _{n\rightarrow \infty }0\leq\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac{4^n}{n!}\leq \dfrac{256}{3}\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac{1}{n}$. Haliyle sağ ve sol sıfıra yaklaşır, ve ortadaki terimin de başka çaresi kalmaz.(Sıkıştırma Teoremi)