$|x^G|$, $[G:Z(G)]$'yi böler mi?

Question

$[G:Z(G)] = n$ ise $G$'deki her eşleniklik sınıfının eleman sayısının $n$'yi böldüğünü nasıl kanıtlarız?

Comments

$G/C_G(x)$ ve $x^G$ arasında bir eşleme olduğunu biliyorum. $Z(G)<C_G(x)$ olduğundan;

$|G|=|C_G(x)||x^G|$ ve $|C_G(x)|=k|Z(G)|$

$|G|=k|Z(G)||x^G|$

$|G|/|Z(G)|=n=k|x^G|$

ve dolayısıyla $|x^G|$, $n$'yi böler.

Yüz kızartıcı hatamı fark ettim, soruyu silmeyeyim belki başkasının işine yarar.

---

Aynı çözümün farklı yazılışı:

$|x^G|=[G:C_G(x)]$ dir.

$Z(G)\leq C_G(x)\leq G$ den

$[G:Z(G)]=[G:C_G(x)][C_G(x):Z(G)]$

ve  $[G:Z(G)]=|G|/|Z(G)|$ (EK: ve $[C_G(x):Z(G)]$ nin bir tamsayı) oluşundan

$|x^G|\mid [G:Z(G)]$ elde ederiz.

---

Teşekkür ederim.