f, [0,a] aralığında sürekli, kesin azalan ve f(0)=b, f(a)=0 şeklinde bir fonksiyon olsun.
f−1, [0,b] aralığında sürekli, kesin azalan bir fonksiyon ve f−1(0)=a, f−1(b)=0 olur.
P={x0=0,x1,…,xn=a}, [0,a] aralığının bir parçalanışı olsun.
yi=f(xn−i) (0≤i≤n) olsun.
P′={y0=0,y1,…,yn=b}, [0,b] nin bir parçalanışı olur ve P↔P′, [0,a] ile [0,b] nin parçalanışları arasında 1-1 bir eşlemedir.
( f azalan olduğu için)
U(f,P)=∑ni=1MiΔxi=∑ni=1f(xi−1)(xi−xi−1) dir.
U(f,P)n∑i=1f(xi−1)(xi−xi−1)=n∑i=1yn−i+1(f−1(yn−i)−f−1(yn−i+1))=yn(f−1(yn−1)−f−1(yn))+yn−1(f−1(yn−2)−f−1(yn−1))+⋯+y1(f−1(y0)−f−1(y1))(f−1(yn)=x0=0 ve y0=0 olduğu için )=ynf−1(yn−1)+yn−1(f−1(yn−2)−f−1(yn−1))+⋯+y1(f−1(y0)−f−1(y1))−y0f−1(y0)=n∑i=1f−1(yi−1)(yi−yi−1)=U(f−1,P′)olur. Bu da
{U(f,P):P, [0,a] nın bir parçalanışı}={U(f−1,P′):P′, [0,b] nın bir parçalanışı}
olması demektir. f, [0,a] aralığında ve f−1, [0,b] aralığında integrallenebilen fonksiyonlar olduğu için:
∫a0f(x)dx=U(f)=inf
ve
\int_{0}^{b}f^{-1}(x)\,dx=U(f^{-1})=\inf \{U(f^{-1},P'):P',\ [0,b]\text{ nın bir parçalanışı}\}
olduğu için:
\int_{0}^{a}f(x)\,dx=\int_{0}^{b}f^{-1}(x)\,dx olduğu gösterilmiş olur.
-------------------------------------------------
Şimdi bunu biraz genelleştirelim:
f,\ [a,b] aralığında sürekli ve kesin azalan bir fonksiyon f(a)=d,\,f(b)=c olsun.
O zaman
g(x)=f(x+a)-c fonksiyonu [0,b-a] aralığında sürekli ve kesin azalandır ve g(b-a)=0, g(0)=d-c olur.
g^{-1}(x)=f^{-1}(x+c)-a olur. Yukarıda gösterilen eşitliği ve bazı başka basit eşitlikleri kullanarak:
\begin{align*}
\int_a^bf(x)\,dx&=\int_0^{b-a}f(x+a)\,dx=\int_0^{b-a}(g(x)+c)\,dx=\int_0^{b-a}g(x)\,dx+c(b-a) \\
&=\int_0^{d-c}g^{-1}(x)\,dx+c(b-a)=\int_0^{d-c}(f^{-1}(x+c)-a)\,dx+c(b-a)\\
&=\int_c^{d}f^{-1}(x)\,dx-a(d-c)+c(b-a)=\int_c^{d}f^{-1}(x)\,dx+cb-ad
\end{align*}
elde ederiz.
Buradan da ( f,[a,b] aralığında sürekli, kesin azalan ve f(a)=d,\,f(b)=c ise)
\int_c^{d}f^{-1}(x)\,dx=\left. xf(x)\right|_a^b+\int_a^bf(x)\,dx
elde edilir.