Belirli integralin sınırını değiştirme

Question

Belirli integralde sınır değiştirme ne anlama gelir? Sınır değiştiğinde neden işaret değişir?

Comments

Sınır değiştirme ilk tanıma uymaz fakat eksilisi olarak integral kurallarına saygı gösterir ve değişken değiştirmelerde aksaklık yaşanmaması sağlar.  Bu nedenle bu şekilde 'tanımlanır'. 

Answer 1

Teorem: ($a<b$ ve) $f,\ [a,b]$ aralığında integrallenebiliyor ve $a<c<b$ ise $f$ nin $[a,c]$ ve $[c,b]$ aralıklarında da integrallenebilirdir ve  $\int_a^bf(x)\,dx=\int_a^cf(x)\,dx+\int_c^bf(x)\,dx$ (*) olur.

Bu durumun, herhangi $a,b,c$ sayıları için de doğru olmasını istiyorsak öyle tanımlamak zorundayız.

Önce niçin $\int_a^a f(x)\,dx=0$ olarak tanımlamamız gerektiğini görelim.

(İntegrallenebilme ile ilgili koşulları  yazmayacağım, onlar daha kolay)

($a<b$ olmak üzere) $a,a,b$ üçlüsünü düşünelim. 

$\int_a^bf(x)\,dx=\int_a^af(x)\,dx+\int_a^bf(x)\,dx$ olması için gerek ve yeter koşul $\int_a^a f(x)\,dx=0$ olmasıdır.

 Şimdi $a>b$ durumunda $\int_a^b f(x)\,dx$ yi nasıl tanımlarsak ($a,b,a$ üçlüsü için) (*) eşitliğinin doğru olacağını düşün.

Veya Diferansiyel-İntegral Hesabın (analizin) temel teoremini düşünelim:

$a>b$ iken de ($F'=f$ ve $f$ sürekli ise) $\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a)$ olması için $\int_a^bf(x)\,dx=-\int_b^af(x)\,dx$ olarak tanımlamamız gerekiyor.