Teorem: ($a<b$ ve) $f,\ [a,b]$ aralığında integrallenebiliyor ve $a<c<b$ ise $f$ nin $[a,c]$ ve $[c,b]$ aralıklarında da integrallenebilirdir ve $\int_a^bf(x)\,dx=\int_a^cf(x)\,dx+\int_c^bf(x)\,dx$ (*) olur.
Bu durumun, herhangi $a,b,c$ sayıları için de doğru olmasını istiyorsak öyle tanımlamak zorundayız.
Önce niçin $\int_a^a f(x)\,dx=0$ olarak tanımlamamız gerektiğini görelim.
(İntegrallenebilme ile ilgili koşulları yazmayacağım, onlar daha kolay)
($a<b$ olmak üzere) $a,a,b$ üçlüsünü düşünelim.
$\int_a^bf(x)\,dx=\int_a^af(x)\,dx+\int_a^bf(x)\,dx$ olması için gerek ve yeter koşul $\int_a^a f(x)\,dx=0$ olmasıdır.
Şimdi $a>b$ durumunda $\int_a^b f(x)\,dx$ yi nasıl tanımlarsak ($a,b,a$ üçlüsü için) (*) eşitliğinin doğru olacağını düşün.
Veya Diferansiyel-İntegral Hesabın (analizin) temel teoremini düşünelim:
$a>b$ iken de ($F'=f$ ve $f$ sürekli ise) $\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a)$ olması için $\int_a^bf(x)\,dx=-\int_b^af(x)\,dx$ olarak tanımlamamız gerekiyor.