Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
7k kez görüntülendi

Belirli integralde sınır değiştirme ne anlama gelir? Sınır değiştiğinde neden işaret değişir?

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (55 puan) tarafından  | 7k kez görüntülendi

Sınır değiştirme ilk tanıma uymaz fakat eksilisi olarak integral kurallarına saygı gösterir ve değişken değiştirmelerde aksaklık yaşanmaması sağlar.  Bu nedenle bu şekilde 'tanımlanır'. 

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Teorem: ($a<b$ ve) $f,\ [a,b]$ aralığında integrallenebiliyor ve $a<c<b$ ise $f$ nin $[a,c]$ ve $[c,b]$ aralıklarında da integrallenebilirdir ve  $\int_a^bf(x)\,dx=\int_a^cf(x)\,dx+\int_c^bf(x)\,dx$ (*) olur.

Bu durumun, herhangi $a,b,c$ sayıları için de doğru olmasını istiyorsak öyle tanımlamak zorundayız.

Önce niçin $\int_a^a f(x)\,dx=0$ olarak tanımlamamız gerektiğini görelim.

(İntegrallenebilme ile ilgili koşulları  yazmayacağım, onlar daha kolay)

($a<b$ olmak üzere) $a,a,b$ üçlüsünü düşünelim. 

$\int_a^bf(x)\,dx=\int_a^af(x)\,dx+\int_a^bf(x)\,dx$ olması için gerek ve yeter koşul $\int_a^a f(x)\,dx=0$ olmasıdır.

 Şimdi $a>b$ durumunda $\int_a^b f(x)\,dx$ yi nasıl tanımlarsak ($a,b,a$ üçlüsü için) (*) eşitliğinin doğru olacağını düşün.

Veya Diferansiyel-İntegral Hesabın (analizin) temel teoremini düşünelim:

$a>b$ iken de ($F'=f$ ve $f$ sürekli ise) $\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a)$ olması için $\int_a^bf(x)\,dx=-\int_b^af(x)\,dx$ olarak tanımlamamız gerekiyor.



(6.2k puan) tarafından 
20,284 soru
21,823 cevap
73,508 yorum
2,568,600 kullanıcı