Banach sabit nokta teoremi

Question

$(X,d)$ bos olmayan bir tam metrik uzayi olsun. $T:\: X \rightarrow X$ de buzusme eslesmesi olsun. Gosteriniz: bir adet biricik $x \in X$ vardir ki $T(x)=x$ olsun. Hatta herhangi bir $x_0 \in X$ ile baslayarak $x_i=T(x_{i-1})$ ile verilen dizinin limiti de bu sabit deger yapar.

Answer 1

T bir büzüşme eşleşmesi ise, $d(T(x),T(y))\leq p d(x,y)$ herhangi bir $p\in ]0,1[$ için bütün $x,y\in X$'lerde geçerli olmak zorundadır (zaten tanımı bu).  

Eğer $X$'in  $T(x)=x$  koşulunu sağlayan birden fazla elemanı olsaydı (böyle $x$'leri sabit değer diye adlandırıyoruz), bunlardan herhangi ikisini $a,b\in X$ seçebilirdik ve o zaman $d(a,b)=d(T(a),T(b))\leq p d(a,b)$. Ama $p< 1$ olduğu ve  $d(a,b)>0$ için $d(a,b)\leq p d(a,b)$ olamayacağına göre $d(a,b)=0\rightarrow a=b$'dir.

İkinci savı kanıtlamak  için $m,n\in \mathbb{N}$ ve $0\leq m\leq n$  olsun.

$d(x_m,x_n)\leq  d(T(x_{m-1}),T(x_{n-1})= p d(x_{m-1},x_{n-1})\leq...$

bunu devam ettirdiğimizde

$\leq...\leq p d(x_0,x_{n-m})\leq$

ve üçgen eşitsizliğini ardarda kullandığımızda

$\leq ...\leq p^m \displaystyle\sum_{j=0}^{n-m-1} d(x_j,x_{j+1})=p^m [d(x_0,x_1)+\displaystyle\sum_{j=1}^{n-m-1} d(T(x_{j-1}),T(x_{j}))]\leq$

aynı şekilde (toplamı her seferinde açarak)

$\leq ...\leq p^m d(x_0,x_1)\displaystyle\sum_{j=0}^{n-m-1} p^j =d(x_0,x_1)p^m \frac{1-p^{n-m}}{1-p}\leq d(x_0,x_1) \frac{p^m}{1-p}$

yani $(x_i)_{i\in \mathbf{N}}$ $(X,d)$'de bir Cauchy dizisidir ve $(X,d)$ tam olduğu için bir yakınsama değeri $a:=lim_{i\rightarrow\infty} x_i$ vardır. Böylece

$a=lim_{i\rightarrow\infty} x_i=lim_{i\rightarrow\infty} x_{i+1}=lim_{i\rightarrow\infty} T(x_{i})=$

büzüşme özelliği  nedeniyle T'nin düzgün sürekli olduğunu kullanırsak

$=T(lim_{i\rightarrow\infty} x_{i})=T(a)$ (=$a$ sabit değerdir). $\square$

Comments

ispatın ikinci kısmında d(x[sub]m[/sub],x[sub]n[/sub])=d(Tx[sub]m-1[/sub],Tx[sub]n-1[/sub])≤qd(x[sub]m-1[/sub],x[sub]n-1[/sub])

olması gerekmez mi acaba ?