Sabit nokta teoremi temelde neyi ifade eder?

Question

Sabit nokta teoremi  reel  fonksiyonlarda  neyi  ifade  eder?

Karmaşık(komplex) fonksiyonlar için  geçerliliği var mıdır?

Comments

Hangi sabit nokta teoremini kastediyorsunuz?

---

Banach sabit nokta teoremi  ...

Answer 1

"reel fonksiyonlarda" kısmını tam anlamadım ama reel fonksiyonlarla ilgili bir uygulaması var:

Banach Sabit Nokta teoremini kullanarak, (adi diferansiyel denklemlerde) Başlangıç Değer Probleminin (uygun bir aralıkta) çözümünün varlığı ve tekliği (Picard-Lindelöf Teoremi,  http://en.wikipedia.org/wiki/Picard%E2%80%93Lindel%C3%B6f_theorem ) gösterilebiliyor.

$y'=F(x,y),\ y(a)=b$ ($F$ birinci değişkende sürekli ikincde Lipshitz sürekli olma koşulu ile) başlangıç değer problemi için :

$Tf(x)=b+\int_a^x F(t,f(t))\, dt$ alınırsa, $T$ uygun bir aralıktaki ($a$ da $b$ değeri alan) sürekli fonksiyonların ($\sup$ metriğine göre tam) metrik uzayında, büzüşme dönüşümü oluyor ve sabit noktası da tam olarak denklemin çözümü oluyor. 

Sorunun ikinci kısmı için:  teorem, tam metrik uzayının nesnelerinin tipinden bağımsızdır. 

Answer 2

birçokları vardır ve ispatları hiç de elemanter olmayan, tersine matematiğin "Fonsiyonel Analiz " ve "Topoloji denilen dallarının gelişmiş yöntemleriyle ispatlanan diferansiyel ve integral denklemler teorisinde sıksık kullanılıyorlar.

 Örneğin :$ f$ fonksiyonu [0, 1] kapalı aralığında sürekli ve (0,1) açık aralığında türevlenebiliyorsa, $f(0)=f(1) =0$ olması halinde $f'(x_0) = f(x_0)$ sağlanacak biçimde en az bir $x_0\in(0,1)$ noktasının var olduğunu gösteriniz.

 Çözüm Her $x\in[0,1]$ için $g(x)=f (x) e^{-x}$ diyelim. $f(0)=f(1) = 0$ olduğu için $g(0) =g(1) =0$ olur. Meşhur Rolle teoremine göre, bu durumda $g'(  x_0)=0$ sağlanacak biçimde en az bir $x_0\in(0,1)$ vardır. Ancak,

                                 $g'(x)=f'(x)e^{-x} - f(x)e^{-x} =(f'(x)-f(x))e^{-x}  \quad g'(x_0) =0$ ve $e^{-x_0}\neq0$   olmasından dolayı, $f'(x_0)-f(x_0) =0$ ve dolayısıyla $f'(x_0)=f(x_0)$ olur.