Üçgende kesenlerin ayırdığı alanlar

Question

Kesen formüllerinden yararlanmaya çalıştım fakat cevaba ulaşamadım.

Answer 1

Mehmet Toktaş hocamın denklemlerini taraf tarafa toplarsak $$3S^2=S_1S_2+S_1S_3+S_2S_3$$  eşitliğini elde ederiz. Aritmetik-Geometrik ortalama eşitsizliğinden $$\dfrac{S_1S_2+S_1S_3+S_2S_3}{3}\ge(S_1S_2S_3)^{2/3}$$  yazılır. Seva teoreminden $S^3=S_1S_2S_3$ olduğundan ve yukardaki eşitlik nedeniyle aritmetik ortalama ile geometrik ortalama eşit olmalıdır. Sonuç olarak   $$S_1S_2=S_1S_3=S_2S_3=S^2$$ ve dolayısıyla $S=S_1=S_2=S_3$  olmalıdır.

Answer 2

$A(CPE)=A(APF)=A(BPD)=s,A(EPA)=s_1,A(FPB)=s_2,A(DPC)=s_3$  olsunlar.

Yükseklikleri eşit olan üçgensel bölgelerin alanları oranı taban uzunlukları oranına eşittir. Bu özelliği uygulayarak;

$\frac{s_3}{s+s_1}=\frac{|PD|}{|AP|}=\frac{s}{s+s_2}\Rightarrow s^2+ss_1=ss_3+s_2s_3$

$\frac{s}{s+s_1}=\frac{|PF|}{|CP|}=\frac{s_2}{s+s_3}\Rightarrow s^2+ss_3=ss_2+s_1s_2$

$\frac{s_1}{s+s_2}=\frac{|PE|}{|BP|}=\frac{s}{s+s_3}\Rightarrow s^2+ss_2=ss_1+s_1s_3$  eşitlikleri elde edilir. Bu üçlü denklem sisteminin  bir çözümü $s_1=s_2=s_3=s$ dir.  Buradan $ABC$ üçgensel bölgesinin  $[AD],[BE],[CF]$ kesenlerince $6$ eş parçaya ayrıldığı anlaşılır. O halde bu kesenler üçgenin kenarortayları demektir. $P$ noktası üçgenin kenar ortaylarının kesim noktası olduğundan $\frac{|AP|}{|AD|}=\frac 23$ olup $x=3$ olmalıdır.

Comments

Mehmet Hocam bu sistemin işimize yarayacak başka çözümü olmadığı da gösterilmeli. Bu üç denkleme ilaveten Seva teoreminden  $S^3=S_1S_2S_3$  eşitliği de geçerli. Oluşan altı üçgene sinüslü alan formülünü uygulayarak da çözmeyi denedim fakat işlemler uzun olduğundan vazgeçtim.

---

Çok teşekkür ederim.

---

Alper hocam, $s$ bilinen kabul edilip bu üç bilinmeyenli üç denklem, tek değişkene(s_1) indirgeyerek çözülmek istenince   $s^7-3s^6s_1-s^5s_1^2+2s^4s_1^3+s^3s_1^4+s^2s_1^5=0$ gibi  bir denklem elde ediliyor. $s^2\neq 0$ olduğundan  Buradan da $s^5-3s^4s_1-5s^3s_1^2+2s^2s_1^3+4ss_1^4+s_1^5=0$ bulunuyor. Bu son denklemin iki çözümü: $s=s_1=s_2=s_3$ ve  $-s=s_1=s_2=s_3$  olup $s^3-3s^2s_1-4ss_1^2-s_1^3=0$ denklemini de 3. dereceden olduğu için üşendim ve uğraşmak istemedim. Sonuç olarak başka çözümlerin varlığı ve işe yararlığı yönünde bir yorum yapmadım.

---

Hocam sanırım $S=S_1$ çözümü    $s^5-3s^4s_1-s^3s_1^2+2s^2s_1^3+ss_1^4+s_1^5=0$ denklemini sağlamıyor.

---

Alper hocam haklısınız. Bilgisayarın klavyesi bazı tuşlar tam basmıyor. Kontrol etmeden kaydedince böyle şeyler oluyor. Doğru denklem şöyle: $s^5-3s^4s_1-5s^3s_1^2+2s^2s_1^3+4ss_1^4+s_1^5=0$  Yukarıda da düzelttim. Teşekkürler.