$\displaystyle\int ^{\infty }_{-\infty }\dfrac {\sin x}{x^{2}+4x+5} = ?$

Question

$\int ^{\infty }_{-\infty }\frac {\sin x}{x^{2}+4x+5} = ?$

şöyle başladım

$f\left( z\right) =\dfrac {e^{iz}}{\left( z-z_{1}\right) \left( z-z_{2}\right) }$ , $z_{1}=-2+i,z_{2}=-2-i$ , $z_2$ üst yarım çembere ait değil rezidüsünü hesaba katmıcaz.

$Res(f(z),z_1) = \dfrac {1}{2ie^{2i+1}}$ çıkıyor.

Sonuç $Im(2\pi. i .\dfrac{1}{2ie^{2i+1}})$ = $\dfrac {\pi }{e^{2i+1}}$ sonucun reel sayı olması lazım bu sonuca biraz daha işlem uygulamalıyız.Bundan sonrasında takıldım ama her şeyi yapıp sonunda takılmak üzücü.

$e^{2i+1} = e . (cos2i+isin2i)$ sonuç hala reel değil

Comments

Son esitliginiz dogru degil.

---

$Im(2\pi. i .\dfrac{1}{2ie^{2i+1}})=\dfrac {\pi }{e^{2i+1}}$ da doğru değil.

Sağ traraf gerçel sayı değil.

---

$z_2$ de doğru değil.

$z_1+z_2\neq -4$  ve $z_1\cdot z_2\neq5$

---

Hocam yanlış olmuş düzelitiyorum $z_2$ yi.

---

ne yapmam lazım sonuç hala reel değil

---

Sonucun reel olmamasının nedeni, yukarıda belirtildiği gibi, sizin, kompleks sayının sanal kısmını yanlış hesaplamanız.

Answer 1

$e^{2i+1} = e . (cos2+sin2)$

cevap ise $-\frac \pi e \sin(2)$

Comments

Hala reel değil?

---

düzenledim şimdi reel

---

Şimdi de doğru değil :)

---

ne hata yapıyorum fark edemedim

---

$e^{2i} = \cos 2 + i \sin 2$

---

hocam nasıl kurtulucam i den

---

Cevapta "Sonuç .." diye başladığın paragraf yanlış. Yorumlarda Doğan Hocanın (iki kere) dediği gibi. Bir sayının sanal kısmı reel olmalı. Senin de söylediğin gibi her şeyi doğru yapıp en basit yerde hata yapmışsın :)

Sayın

$$\frac{\pi}{e^{2i+1}} = \frac\pi e e^{-2i} = \frac \pi e (\cos (-2) + i\sin(-2))$$

But sayının sanal kısmı ne?

---

$\frac \pi e (\cos (-2) = -\frac \pi e \cos (2)$

---

teşekkür ederim

---

Azıcık daha iteleyince olacak :) kosinüs yerine sinüs alman lazım dimi?

---

$\cos(-2)\neq-\cos 2$

---

TeX commands'ten yanlış yazıyı kopyalamışım düzeltiyorum teşekkür ederim.

Answer 2

Alternatif bir başlangıç önermek isterim. $$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-|t|}e^{-2\pi it x} dt$$ integralini hesaplayın. ($x$ yerine $x+2$ de yazabilirdik.) Sonrasında, Fourier dönüşümünün özelliklerini kullanarak $$f(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x^2+4x+5}e^{2\pi it x} dx$$ integralini hesaplayabilirsiniz. Aradığınız cevap $f(1/2\pi)$ karmaşık sayısının sanal kısmıdır.