Yüzey integralleri

Question

$x^2+y^2+z^2=1$ küresinin $z=0$ düzleminin altında kalan kısmının normali dışa doğru yönlendirilmiş olsun.$F(x,y,z)=x^2yi+y^2zj+z^2xk$ vektör alanı olmak üzere  $\int_{S} rotFndS$ integralini hesaplayınız.

çözüm:  

$rotF=(0-y^2)i-(z^2-0)j+(0-x^2)k$ yani $rotF=-y^2i-z^2j-x^2k$ olur.Ayrıca S yüzeyi altyarı olduğundan $z=-\sqrt{1-x^2-y^2}$ olur.Bu durumda $z_{x}=\frac{x}{\sqrt{1-x^2-y^2}}$ ve $z_{y}=\frac{y}{\sqrt{1-x^2-y^2}}$ olur.Buradan

$\iint_{S} rotFndS= \iint_{B} [(-y^2)$ .$\frac{x}{\sqrt{1-x^2-y^2}}-(-z^2)\frac{y}{\sqrt{1-x^2-y^2}}+(-x^2)]dA$

$\iint_{B} [ \frac{-xy^2}{\sqrt{1-x^2-y^2}}+\frac{y(1-x^2-y^2)}{\sqrt{1-x^2-y^2}}-x^2]dA$

burada $x=rcos\theta$ ve $y=rsin\theta$ dönüşümü yapılırsa

$\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} [\frac{-r^3cos\theta sin^2\theta +rsin\theta-r^3cos^2\theta sin\theta-r^3sin^3\theta}{\sqrt{1-r^2}}-r^2cos^2\theta]rdrd\theta$

elde edilir.Buraya kadar herhangi bir hatam olduğunu düşünmüyorum ama olabilirde peki bundan sonra nasıl ilerleyeceğim?

Comments

Stokes un Teroemi ile, bu integrale eşit oan başka bir integrali bulmayı deneyebilirsiniz.

---

evet onu buldum şu şekilde,

$x=cost,\;y=sint,\;z=0$ dönüşümü yardımıyla $C...r(t)=costi+sintj+0k$, $0\leq t \leq 2\pi$ için

$$ \iint\limits_{S}rotFndS=\int\limits_{C}Fdr=\int\limits_{0}^{2\pi} (x^2y,y^2z,z^2x).(-sint,cost,0)dt $$

integralini aldığımda sonucu 0 buldum ama doğruluğunu sağlamak adına birinci integral olan

$ \iint\limits_{S}rotFndS$ integralini de çözmem lazım.

---

$Rot\,F\cdot n$ kısmında hata var sanıyorum.

Oradaki $-(-z^2)\frac{y}{\cdots}$?  baştaki $-$ niye?

$\mathbf{n}$ yi tam olarak yazabilir misin?

---

soruda yüzeyin normalinin dışa yönlendirilmiş olsun tanımlamasına istinaden

$n=(-z_{x},-z_{y},1)$ olduğundan

$n=(-\frac{x}{\sqrt{1-x^2-y^2}},-\frac{y}{\sqrt{1-x^2-y^2}},1)$ olarak hesapladım.Sanırım bir yazım hatası yapmışım tekrar güncelleyecek olursam

$\iint\limits_{S}rotFndS=\iint\limits_{B}[-(-y^2).\frac{x}{\sqrt{1-x^2-y^2}}-(-z^2).\frac{y}{\sqrt{1-x^2-y^2}}+(-x^2)]dA$

son hali budur.

---

$n=(-\frac{x}{\sqrt{1-x^2-y^2}},-\frac{y}{\sqrt{1-x^2-y^2}},1)$ doğru mu?

" normali dışa doğru yönlendirilmiş" ifadesinin hiç göz önüne almamışsın.

---

hocam sanırım eksik noktalarım var öncelikle bunları düzeltmeliyim yardımlarınız için teşekkür ederim