Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
796 kez görüntülendi

Soru (Lokman Gökçe): 3xy2+y(x+2)2+(x+2)2=0 denklemini sağlayan tüm (x,y) tam sayı ikililerini bulunuz.

 

 

Not: Denklemi Burada Wolfram'a sordum ve yalnızca (x,y)=(2,0) çözümünü veriyor. Halbuki (0,1) ikilisi de bir çözümdür. Wolfram'ın neden denklemin tüm çözümlerini bulamadığı hakkında fikirlerinizi de belirtebilirsiniz.

Lisans Matematik kategorisinde (2.6k puan) tarafından  | 796 kez görüntülendi

x ve y icin tanim araligini kisitlarsak cozuyor.. Wolfram  Veya soyle de girebilirsiniz Wolfram 2

 

Bu arada Mathematica kisitlama olmadan cozuyor denklemi

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap
Polinomu y cinsinden Z[x] üzerine ikinci dereceden bir polinom olarak görün. Diskriminant'ı bir tamkare olmalı, yani x28x+4 bir tamkare olmalı. Demek ki bir zZ için x28x+4=z2 olmalı. Bu da (x4)212=z2, yani (x+z4)(xz4)=12 demek. Şimdi 12'yi çarpanlarına ayıralım: 12=ab. (Böyle 12 adet (a,b) çifti var.) Demek ki x+z4=a ve xz4=b olmalı. Bu denklemlerin tamsayı çözümü bulunup teker teker denenebilir.
(904 puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
Cevabınız için çok teşekkürler değerli hocam. Belirttiğiniz gibi, diskriminant fikriyle problemi kurguladım. Detayları doldurayım. Az daha ilerletirsek z0 kabulü çözümün genelliğini bozmaz. x4+zx4z olur. Ayrıca x4+z ve x4z sayılarının paritelerinin aynı olduğu görülürse yalnızca

 x4z=2x4+z=6

ve

 x4z=6x4+z=2

sistemlerinden x{0,8} bulunur. x=8 için ana denklemden y tam sayı olarak gelmiyor. x=0 için y=1 dir.

 

Orijinal problemde belirttiğim (x,y)=(2,0) çözümü nereye kayboldu diye sorulursa, disktiminant Δ=(x+2)2(x28x+4) şeklindeydi. Burada x=2 için Δ=0 olduğundan (x,y)=(2,0) çözümü de elde edilir. Tüm çözümler (0,1), (2,0) olarak bulunur.
20,312 soru
21,868 cevap
73,589 yorum
2,859,620 kullanıcı