Bir tane $A$ tanımlayalım
Teorem: $A$ , metrik uzay $(X,\tau)$'nun kompakt bir alt kümesi olsun.O halde $A$ kapalı ve sınırlıdır.
Bir nevi sorum teoremin tersi doğru mu?Ters örnek vermemiz gerektiğini düşünyorum.
Aklıma şu geldi , $X$ sonsuz bir küme olsun , ayrık uzayı göz önüne alalım , bu metriklenebilir ve Hausdorff bir uzaydır.$X$'in kendisi kapalıdır ama kompakt değildir.Nedenini de şöyle açıklayayım, $X$ sonsuz tane tek nokta kümelerinin birleşimi şeklinde yazılabilir ama sonlu tane tek nokta kümenin birleşimi ile yazılamaz çünkü en başta $X$ için sonsuz demiştik.$X$ kompakt değildir.
Metrik için de geçerli olur mu ?