Her integralin cevabı bir sayı gelmeyebilir. Daha doğru bir ifadeyle, her integral yakınsak olmayabilir, gayet tabi ıraksak da olabilir. Neticede integral de bir limit işlemidir. Bunu belirttikten sonra şu şekilde devam edebiliriz.
Örneğin, akıllı bir tahminde (educated guess) bulunalım. $f(x)=\frac{1}{x}, \quad g(x)=\frac{1}{x-2}$ gibi fonksiyonları düşünelim.
$ x \in (2,\infty)$, $f(x)<g(x)$ için olduğu aşikardır. ($\frac{1}{x} < \frac{1}{x-2}$) Bu konuda hem fikir olduğumuzu düşünüyorum.
Şimdi her iki tarafın $ x \in (2,\infty)$ aralığında integralini alalım. Bunu yaptığımız takdirde aşağıdaki gibi bir eşitsizlik elde ederiz.
$$\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x} \mathrm{d}x < \int_{2}^{\infty} \frac{1}{x-2} \mathrm{d}x$$
Bu noktada, sol taraftaki integrali hesaplamaya çalışalım.
$$\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x} \mathrm{d}x =\lim_{b \to \infty} \int_{2}^{b} \frac{1}{x} \mathrm{d}x=\lim_{b \to \infty} (\ln x )|_{2}^{b}=\lim_{b \to \infty} (\ln b -\ln 2)=\infty$$
Bu şuna delalet etmektedir:
Sol taraftaki integralin değeri herhangi bir yere yakınsamıyor, dolayısı ile sağ taraftaki de herhangi bir değere yakınsamayacaktır. Bir başka deyişle, sol taraf ıraksaksa, sağ tarafta ıraksaktır. [yakınsak-convergent ; ıraksak-divergent]
Sonuç olarak, $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x-2} \mathrm{d}x$ integralini, $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x} \mathrm{d}x$ integraliyle uygun şekilde kıyasladığımızda herhangi bir değere yakınsamadığını göreceğiz. Yani integralin değeri tanımsızdır diyebiliriz.