Fonksiyonun ne olduğunu anlamak için harika bir fırsat. Fonksiyon tanım kümesi $X$ ve görüntü kümesi $Y$ arasında her $x \in X$ için tek bir $y \in Y$ veren bir bağıntıdır ve $$\begin{aligned} f \colon X & \to Y \\ x & \mapsto f(x) \end{aligned} $$ olarak gösterilir.
Biz genellikle sayılar üzerindeki fonksiyonlara bakmaya alışık olduğumuzdan, fonksiyonların tanım kümesini de olabilecek en geniş tanım kümeleri olarak varsaydığımızdan $X$ ve $Y$'yi unutur sadece fonksiyonun kuralına bakarız $f(x) = x-1$ gibi. Oysa kuralı aynı olan iki fonksiyon tanım kümeleri eşit değilse, eşit de değildir. Bu yüzden tam da soruda olduğu gibi, bir fonksiyonun kuralını aynı şeyle çarpıp böldüğümüzde fonksiyon aynı kalmayabilir çünkü tanım kümeleri değişir, $$\begin{aligned} f \colon \mathbb{R} & \to \mathbb{R} \\ x & \mapsto 1 \end{aligned}$$ ve $$\begin{aligned} g \colon \mathbb{R} \setminus \{0\} & \to \mathbb{R} \\ x & \mapsto \frac{x}{x} \end{aligned}$$ fonksiyonları eşit değildir.
Bir fonksiyonu başka bir ifade ile çarpıp bölme gibi işlemler yaparken tanım kümesini değiştirip değiştirmediğimize dikkat etmek gerekir. Bu tip işlemler sıklıkla limit hesaplarında yapıldığından ve orada da limitin özelliklerinden dolayı sorun çıkartmadıklarından sanki hiç sorun yokmuş sanılır.