$A$ kapalıdır $\Leftrightarrow A=\overline {A}$

Question

Teorem : $A$ kapalıdır $\Leftrightarrow A=\overline {A}$

Varsayalım A kapalı olsun , o halde A tüm limit noktalarını içerir. $A=A'$.

$\overline {A}=A\cup A'\Rightarrow \overline {A}=A$

Varsayalım  $A=\overline {A}$ doğru olsun , $\overline {A}=A\cup A'\Rightarrow A=A\cup A'= A'$

şunu elde ettik $A=A'$ , o halde $A$ kapalıdır.

Comments

Aşağıdaki linklere de bir göz at.

1) http://matkafasi.com/96267/metrik-subseteq-olmak-uzere-mathcal-leftrightarrow-subseteq

2) http://matkafasi.com/107908/topolojik-subseteq-olmak-uzere-mathcal-oldugunu-gosteriniz

3) http://matkafasi.com/107930/topolojik-subseteq-olmak-uzere-overline-oldugunu-gosteriniz

Answer 1

$X$ bir topolojik uzay ve $A\subset X$ olsun.

Sağ taraf oldukça açık. Çünkü, cl(A) = A'yı içeren kapalı kümelerin (X'te kapalı) kesişimi. Eğer A=cl(A) direk kapalı diyebiliriz.

Sol taraf için:  cl(A) tanımdan, Eğer $A$ kapalı ise ve $A$'yı içeren kapalı kümelerin kesişimini göz önüne alıyorsak bu kesişimin içinde $A$'da vardır. Haliyle A=cl(A) olur