Fonksiyonların Tanım Kümesi Üzerine

Question

Öncelikle sitede yeniyim, bir hata yaptıysam affola, söylerseniz hemen düzeltirim.

1)  $f\left( x\right) =x+3$ fonksiyonu doğal sayılardan doğal sayılara tanımlı bir fonksiyon olsun. Şimdi burada $x = 1$ verirsek $f\left( 1\right) = 4$  geliyor tamam hiçbir problem yok. Ama mesela $x$ yerine $x+2$ yazdığımızı düşünelim. $f\left( x+2\right) =x+5$ oluyor .$f\left( x+2\right) =x+5$ fonksiyonunda $x = -1$ yazabilir miyiz ? Yani aslinda özetle şunu soruyorum $f\left("x'libir şeyler\right) = "x'li bir şeyler"$ şeklinde bir fonksiyonda tanım kümesi $f$'den sonraki parantezler içerisindeki tüm ifadenin alabileceği değerlerimi söylüyor yoksa parantez içerisindeki ifadedeki $x$'in alabileceği şeyleri mi söylüyor? Ve bu $f\left( x\right) =x+3$ fonksiyonu ile $f\left( x+2\right) =x+5$ farklı fonksiyonlar mı ?

2)$P\left( x^3\right)=2x^{4}-7x^{5}$ ifadesini ele alalım. Burada $P\left( x^3\right)$^de $x$ yerine 

$x^{\frac{1}{3}}$ yazarak elde ettiğimiz $P\left( x\right)$ ifadesi polinom değildir ama $P\left( x^3\right)$ polinomdur değil mi ?

Comments

İlk sorunuz için şunu söyleyebilirim. $f(x)=x+3$ (dizisinin) grafiğini(ki nokta nokta olacak) çizdiğinizi düşünün.Bu dizinin terimleri $f(x)=x+3$ doğrusu üzeride yer alır. $f(x+2)=x+5$ nin grafiği ilkinin $2$ birim sola kaydırılmış şeklidir. Eğer verilen ilk fonksiyon genel terimi $a_n=f(n)=n+3$ olan bir dizi olarak düşünülürse $ (a_{n+2})=(n+5)$  dizisi $(a_n)$ dizisinin bir alt dizisidir.  Her iki dizinin de tanım kümeleri aynıdır. $(a_n)$ dizisinde $a_1=3$ olduğu halde $(a_{n+2})$ dizisinde ilk terim $a_3=5$ dir. 

İkinci sorunuzda evet $x$ yerine $x^{1/3}$ yazabilirsiniz ama sizin de dediğiniz gibi elde edilen $P(x)$ polinom olmayan bir fonksiyon olur.

---

Öncelikle cevabınız için teşekkür ederim. Ama fonksiyonun doğal sayılarda tanımlı olması örnek basit olsun ve ana fikirden sapmayayım diyeydi. Diyelim ki fonksiyon pozitif reel sayılardan reel sayılara olsun. Böyle bir durumda ikinci fonksiyonda $x=-1$  diyebilir miyim ? $f(1)$ tanımlı ama $-1$ tanım kümesinde yok burada takılıyorum.

---

$f:R\rightarrow R,f(x)=x+3$ olsun. $g(x)=f(x+2)=x+5$ olarak alırsak, $g$'nin tanım kümesi yine $R$ olurdu. Dolaysıyla $x=-1$ yazılabilir.  Ama $f$ ile $g$  ' nin grafikleri arasındaki ilişki unutulmamalıdır. Oynamaların/kaydırmaları sadece grafiklerde olduğunu ama tanım kümesinde herhangi bir kayma olmayacağını düşünmeliyiz.

---

Öncelikle tekrardan cevabın için teşekkür ederim Mehmet Hocam ama

$f:\mathbb{R}^{+}\rightarrow\mathbb{R}$

Answer 1

$1$'i istedigin gibi yazabilirsin. $(-1)^2$, $-2+1$, $3-2\cdot 1^2$. 

$f$ bir fonksiyonun adidir ve tanim kumesindeki bir elemani goruntu kumesindeki bir elemana goturur. Bir iliskidir . $1$i (senin fonksiyonunda) $4$ ile iliskilendirmistir. 

Simdi bir $x$ gercel sayisi(!) icin $x$ almissin, $x+3$ ya da $x^2+1$ almissin onemli degil. Yeter ki bu ifadeler tanim kumesinde olsun. Onu  alir ilgili degerine goturur. 


(1) tanim kumelerini ve goruntu kumelerini $\mathbb R$ aldigini varsayarsak evet ayni fonksiyonlardir.
(2) Sectigin $P$ bir polinom degil. Olmadigini bir sekilde gostermissin diyeyim.

Ek not: $x$ sadece bir temsildir. Tanim kulesindeki bir elemani temsil eder.  $1$den buyuk esit gercel sayilari $1+x^2$ olarak da temsil edebilirsin.