Hayir.
Fonksiyonumuz birebir degil. $0$ ile $2 \pi$ ayni yere gidiyor.
Ama senin sormak istedigin soru da bu degil zannedersem.
Tanim kumesi $[0, 2\pi]$ degil de $[0, 2\pi)$ olsun. Bu durumda fonksiyonumuz birebir oluyor. Ayni zamanda surekli ve orten. Ama $f^{-1}$ surekli degil. Neden degil? $S^1$ uzerinde $1$ noktasini alalim. Bu noktanin etrafinda ne kadar kucuk bir komsuluk alirsan al, bu komsulugun $f^{-1}$ altindaki goruntusu $[0 , 2\pi)$ araliginin iki ucunda yer alacaktir. Yani, birbirine yakin noktalar, cok uzak noktalara gidiyor. Surekli olamaz.
Bunun disinda daha kisa olarak sunu da soyleyebilirsin: $[0, 2\pi)$ tikiz degil ama $S^1$ tikiz.