Question

$f:[0,2\pi]\rightarrow \mathbb{S}^1 ,\ f(t)=(\cos t,\sin t)$ fonksiyonu homeomorfizm mi?

Answer 1

Hayir.

Fonksiyonumuz birebir degil. $0$ ile $2 \pi$ ayni yere gidiyor.

Ama senin sormak istedigin soru da bu degil zannedersem.

Tanim kumesi $[0, 2\pi]$ degil de $[0, 2\pi)$ olsun. Bu durumda fonksiyonumuz birebir oluyor. Ayni zamanda surekli ve orten. Ama $f^{-1}$ surekli degil. Neden degil? $S^1$ uzerinde $1$ noktasini alalim. Bu noktanin etrafinda ne kadar kucuk bir komsuluk alirsan al, bu komsulugun $f^{-1}$ altindaki goruntusu $[0 , 2\pi)$ araliginin iki ucunda yer alacaktir. Yani, birbirine yakin noktalar, cok uzak noktalara gidiyor. Surekli olamaz.

Bunun disinda daha kisa olarak sunu da soyleyebilirsin: $[0, 2\pi)$ tikiz degil ama $S^1$ tikiz.