$f:[0,2\pi]\rightarrow \mathbb{S}^1 ,\ f(t)=(\cos t,\sin t) $ fonksiyonu homeomorfizm mi?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
75 kez görüntülendi
11, Haziran, 2015 Lisans Matematik kategorisinde aliözen (16 puan) tarafından  soruldu
11, Haziran, 2015 DoganDonmez tarafından düzenlendi

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme

Hayir.

Fonksiyonumuz birebir degil. $0$ ile $2 \pi$ ayni yere gidiyor.


Ama senin sormak istedigin soru da bu degil zannedersem.

Tanim kumesi $[0, 2\pi]$ degil de $[0, 2\pi)$ olsun. Bu durumda fonksiyonumuz birebir oluyor. Ayni zamanda surekli ve orten. Ama $f^{-1}$ surekli degil. Neden degil? $S^1$ uzerinde $1$ noktasini alalim. Bu noktanin etrafinda ne kadar kucuk bir komsuluk alirsan al, bu komsulugun $f^{-1}$ altindaki goruntusu $[0 , 2\pi)$ araliginin iki ucunda yer alacaktir. Yani, birbirine yakin noktalar, cok uzak noktalara gidiyor. Surekli olamaz.


Bunun disinda daha kisa olarak sunu da soyleyebilirsin: $[0, 2\pi)$ tikiz degil ama $S^1$ tikiz.

11, Haziran, 2015 Ozgur (1,937 puan) tarafından  cevaplandı
...