$\tau$ bir topoloji midir ?

Question

$\tau =\left\{ \emptyset ,\mathbb{R} \right\} \cup \left\{ \left( a,\infty \right) :a\in \mathbb{R} \right\}$ topoloji midir ?

topoloji olması için 3 özelliği sağlamalı.

1.$\mathbb{R}\in \tau$ , $\emptyset \in \tau$ bu net.

2. sonlu veya sonsuz sayıda kümenin birleşimi $\tau$ da olmalı.

3. 2 kümenin kesişimi de $\tau$ da olmalı.

Comments

Siz hangi özellikleri gösterirken ( nerede) takıldınız?

---

hocam kesişim için , iki küme seçiyim bunlar $\left( 1,\infty \right)$ ve $\left( 2,\infty \right)$ olsun kesişimleri $\left( 2,\infty \right)$ olur buda $\in \tau$.

birleşim için , şunu kullanabilir miyim ? Açık kümelerin birleşimi de açık kümedir.

---

Bir örnek yeterli değil. Herhangi iki küme için yapmalısın. Ama buna benzer olacak(bir de kümelerden biri veya ikisi de boş veya tüm R olması durumunu da incelemen gerekir)

Birleşim için o dediğin olmaz. Henüz topoloji olduğu gösterilmedi ki. Topoloji olduğu verilmiş ise elbette kullanabilirsin.(ki zaten soru onu göstermek) .

Bu diğerine göre biraz daha uzun sürecek. Bir örnek görmüşsündür.

---

hocam ne önerirsiniz

---

1. Kesişim için tek ilginç durum: Herhangi iki $a,b$ sayıları için $(a,+\infty)\cap(b,+\infty)=?$

2. Birleşim için esas ilginç durum: $\displaystyle\bigcup_{i\in I}(a_i,+\infty)=?$

Answer 1

$\mathbb{R}$'de $\tau =\left\{ \emptyset ,\mathbb{R} \right\} \cup \left\{ \left( a,\infty \right) :a\in \mathbb{R} \right\}$ olsun.

$\mathbf{T_1)}$ Besbelli.

$\mathbf{T_2)}$ $A,B \in \tau$ olsun. (Amaç $A\cap B\in\tau$ olduğunu göstermek.)
 

1. Durum: $(A=\emptyset \text{ veya } B=\emptyset)\Rightarrow$ $A\cap B=\emptyset \in \tau.$

2. Durum: $(A=\mathbb{R})(B=\mathbb{R})\Rightarrow A\cap B=\mathbb{R} \in \tau.$

3. Durum: $(A=\mathbb{R})(B=(x,\infty))\Rightarrow A\cap B=(x,\infty)\in \tau.$

4. Durum: $(A=(x,\infty))(B=(y,\infty))\Rightarrow A \cap B=(\max\{x,y\},\infty)\in \tau.$

$\mathbf{T_3)}$ $\mathcal{A}\subseteq \tau$ olsun. (Amacımız $\bigcup \mathcal{A} \in \tau$ olduğunu göstermek.)

1. Durum: $(\mathcal{A}=\emptyset \text{ veya } \mathcal{A}=\{\emptyset\}) \Rightarrow \bigcup\mathcal{A}=\emptyset \in \tau.$

2. Durum: $\mathbb{R} \in \mathcal{A} \Rightarrow$ $\bigcup \mathcal{A}=\mathbb{R} \in \tau.$

3. Durum: $\mathbb{R} \notin \mathcal{A}$ olsun. (Ayrıca $\emptyset\notin\mathcal{A}$ olduğunu varsaymamızda bir sakınca yoktur. Neden?)

$\emptyset,\mathbb{R} \notin \mathcal{A}\subseteq \tau \Rightarrow (\mathcal{A}=\emptyset \text{ veya } \mathcal{A}\neq \emptyset)$

$\mathcal{A}=\emptyset$ olma durumunu 1. durumda incelemiştik.

$\mathcal{A}\neq \emptyset$ durumunu inceleyelim.

$(\emptyset,\mathbb{R} \notin \mathcal{A})(\mathcal{A}\neq \emptyset)\Rightarrow (\exists A\subseteq\mathbb{R})(A\neq\emptyset)(\mathcal{A}=\{(a,\infty)|a\in A\})$

$\Rightarrow \bigcup \mathcal{A}=\left\{\begin{array}{ccl} \mathbb{R}\in\tau & , & A \text{ alttan sınırsız} \\  \\ (\inf A,\infty)\in\tau & , & A \text{ alttan sınırlı} \end{array}. \right.$

Böylelikle topoloji olma koşullarını sağladığını görmüş oluruz.

Comments

@Bilge zc şimdi sana bir sorum olacak. Gerçel sayılar kümesinin boştan farklı ve alttan sınırlı her altkümesinin her zaman infimumu (en büyük altsınırı) var mıdır? Bu soruya yanıtın EVET ise soruya verdiğin yanıtta herhangi bir problem yok. Ancak bu soruya yanıtın HAYIR ise verdiğin yanıtta bir problem var demektir. Yorumlarını bekliyorum.

Answer 2

$\mathbf{T_1)}$ $\emptyset\in \tau$ ve $\mathbb{R}\in \tau$ olduğu topolojinin tanımı gereği açıktır.

$\mathbf{T_2)}$ $A,B\in\tau$ olsun.

$\textbf{I. durum:}$ $A=\emptyset\vee B=\emptyset$ olsun.

($A=\emptyset\vee B=\emptyset$) $\Rightarrow$ $A\cap B=\emptyset\in\tau$ 

$\textbf{II. durum:}$ $A\neq\emptyset$ ve $B\neq\emptyset$ olsun.

($A=\mathbb{R}$ ve $B\neq\mathbb{R}$) $\Rightarrow$ $A\cap B\neq\mathbb{R}\in\tau$

($A\neq\mathbb{R}$ ve $B\neq\mathbb{R}$) $\Rightarrow$ ($\exists$ $x$ $\in$ $\mathbb{R}$)($\exists$ $y$ $\in$ $\mathbb{R}$)($A=($x$,\infty))$ ($B=($y$,\infty))$

$\Rightarrow$ $(max${x,y}$\in \ \mathbb{R})$ ($A \cap B$=$(max${x,y}$, \infty ))$ $\Rightarrow$ $A \cap B \in \tau$

 $\mathbf{T_3)}$      $\mathcal{A}\subseteq \tau$ olsun.

$\mathbb{R} \in \mathcal{A} \Rightarrow$ $\bigcup \mathcal{A}=\mathbb{R} \in \tau$

$\emptyset , \mathbb{R} \notin$ $\mathcal{A}$ olsun.

$\mathcal{A}$={($x_i$,$\infty$)| i $\in$ $I$} $\Rightarrow$ $\bigcup \mathcal{A}$=(inf{$x_i$| i $\in$ $I$ },$\infty$)) ,{$x_i$| i $\in$ $I$ },alttan sınırlı 

$\mathcal{A}$={($x_i$,$\infty$)| i $\in$ $I$} $\Rightarrow$ $\bigcup \mathcal{A}=\mathbb{R}$ ,{$x_i$| i $\in$ $I$ } , alttan sınırsız 

 $\mathbf{T_1)}$  $\mathbf{T_2)}$  $\mathbf{T_3)}$  ​​​​​​​özelliklerini sağladığından dolayı topolojidir.