Dogmatik fikir, sorgulamadan bir bilgiyi doğru kabul etmektir. Dini inanışlar ile ilgili karşılaştığım bir terimdir. Tanrı var mıdır? Vardır, çünkü $A$ kutsal kitabında öyle yazıyor. $A$ kutsal kitabında yazanın doğru olduğunu nereden biliyoruz? Çünkü o kitap Tanrı tarafından gönderildi ... Bahsettiğiniz kısır döngü daha çok bu tür bir örneğe uyuyor diye düşünüyorum.
Matematikte de aksiyomlar, yani doğruluğu ispatsız kabuller vardır. Fakat burada, yukarıdakinden farklı bir durum vardır. Biz bu aksiyomları ön kabuller olarak yaptığımızın bilincindeyiz. Aksiyomları değiştirerek kendi içinde tutarlı başka yapılar elde edebileceğimizi de biliyoruz. Euclid'in ilk aksiyomu '
Bir şeye eşit olan başka şeyler birbirlerine de eşittir' biçimindedir. Bunun doğruluğunu ispat etmedik. Bir insanın, aklını kullanarak bu ön kabule güvenip güvenmeyeceği kendi kişisel seçimidir. Şu ana kadar buna güvenenler bazı faydalarını görmüşlerdir. Örneğin; Euclid Geometrisi'nin nimetlerinden faydalanarak insanlar gökdelenler inşa edebilmiş, Ay'a çıkabilmiş, uzaya uydu gönderebilmiş. Aksiyom ve Postülatlar ile ilgili
buraya eklediğim bir yazı vardı, incelemek isteyenler için paylaşmış olalım. 5. postülat değiştirilerek Lobachewski tarafından
Hayali Geometri isimli farklı bir geometri üretilmiştir. (Sonraki zamanlarda bu geometrinin de o kadar hayali olmadığı, ete kemiğe büründüğü görülmüştür.)
$\sqrt{2}$ sayısının irrasyonelliği ile ilgili olarak, rasyonel sayının tanımından faydalanıyoruz. Tanımı ispatlamak diye bir şey yok. Burası tartışma konusu değildir sanırım. Sonra şöyle başlıyoruz: 'Hadi her şeyden vazgeçelim ve $\sqrt{2}=\dfrac{a}{b}$ olduğunu düşünelim' diyoruz. Yani, 'Daha ne yapayım, senin dediğin olsun ve $\sqrt{2}$ yi rasyonel olarak düşünmeye başlayayım' demektir. Buradan çelişkili bir durum elde edince de o ön kabulün hatalı olduğunu çıkarıyoruz. Mantık diliyle $p\implies q$ önermesine denk olarak $q' \implies p'$ önermesini kullanıyoruz. Buna çelişki veya olmayana ergi yöntemi deniyor. Mantık kuralları mantıklı mıdır peki? Bana mantıklı geldiği için üzerine gitmedim ama sadece matematikçiler değil, felsefe ile uğraşanlar da mantık kurallarına göre çıkarım yapıyorlardır diye düşünüyorum.
Matematikteki kavramlar zihnimizdedir ve idealize edilmiş durumdadırlar. Sadece tümevarım değil, günlük hayatta kullanamadığımız birçok materyal matematikte vardır. Örneğin matematikte düzlem dediğimiz şeyi, günlük hayatta direkt olarak gösteremiyoruz. Camın yüzeyini düzleme örnek olarak veriyoruz fakat o da bir düzlem değildir. Cam yüzeyi hem sandığımız kadar düz değildir, hem de ideal düzlem gibi sınırsız değildir. Araç motorlarındaki silindirler, ideal silindir değildir fakat aracın istenilen bir performansta çalışmasını sağlayacak kadar silindir biçimi verilebilmiş. Merak edenler için
burada kare pistonlu silindir ile ilgili eğlenceli bir video var. Makine mühendislerinin neden kare pistonlu silindir yerine silindir gibi silindir kullandığı açıklanıyor.
$100$ yıl önce ortaya atılan bir atom teorisi günümüzde geçerliliğini yitirebiliyor. Fakat matematik, diğer bilimlerden çok farklı biçimde işliyor. Her şey zihinsel olarak yapılıyor. Kendi içinde çelişki oluşturacak durumlar acımasızca irdelenerek çelişkiyi giderecek ve tekrar tutarlı bir hale gelecek biçimde düzenleniyor. Okuduğum bir yazıda, 'Günümüzde matematikte çelişki çıkması beklenmiyor ancak ileride çıkarsa da yine küçük düzeltmelerle bu durumun aşılabileceği düşünülüyor' diyordu. Matematiğin iç tutarlılık durumunun; onun değersizleşmesine değil, aksine değerli olmasına katkısı olduğunu düşünüyorum. Bir de fiziksel dünyada, birçok bilim dalına hizmet ettiğini, bunun sonucunda insan hayatını kolaylaştırdığını da düşünürsek matematiği oldukça değerli ve faydalı olduğunu söyleyebiliriz.