Sonsuz boyutlu lineer uzaydan $\mathbb R$'a en az bir süreksiz fonksiyon yazılabilir mi?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
140 kez görüntülendi

Genelde bir uzay sonsuz boyutlu ve diğeri sonluysa bu tarz süreksizlikler genelde ortaya çıkıyor peki böyle bir şeyi genel olarak söyleyebilir miyiz? ileri okumalar var mıdır ?

1, Mart, 1 Akademik Matematik kategorisinde Anıl Berkcan Turker (7,757 puan) tarafından  soruldu

Sıfıra (sıfır vektörüne) yakınsayan lineer bağımsız bir dizi al. Bu vektörlerin hepsini $1$'e götüren bir lineer fonksiyon al. Bu fonksiyonun sıfırda sürekli olmadığını göster.


Soruda belirtilmemiş ama herhalde lineer kastediliyor. Aksi halde bulmak daha kolay.

(Sonlu boyutlu vektör uzaylardan farklı olarak) Sonsuz boyutlu vektör uzaylarının standart bir topolojisi yoktur. 

Sonlu veya sonsuz boyutlu bir uzayda ayrık topoloji ($\tau=2^V$ her alt küme açık) kullanırsak elbette ki her fonksiyon sürekli olur.

Ozgur un örneğinde de (böyle bir bazın varlığını göstermek için) Zorn un Lemmasına gerek var.

(Ama ayrık topolojide böyle bir dizi bulamayız)

(https://en.wikipedia.org/wiki/Zorn%27s_lemma)

Evet hocam linear olmasını kastetmiştim. Teşekkürler Dogan hocam, Teşekkürler Özgür.

...