Processing math: 100%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
2.2k kez görüntülendi
Doğal sayılar kümesinin üstten sınırsız olduğunu gösteriniz.
Lisans Matematik kategorisinde (11.5k puan) tarafından 
tarafından yeniden etikenlendirildi | 2.2k kez görüntülendi

Bunun çözümü bu sitede var sanırım.

Ben de var diye hatırlıyorum ama bulamadım. Gün geçtikçe sitede aradıklarımı bulmak zorlaşıyor.

Biraz hileli çözüm:

xR olsun.

y=|x| olsun. yx olur.

n=y+1 olsun. nN ve (n1=yyn olduğu için) ny olur.

 n>x olur. Bu da bize hiç bir  gerçel sayının tüm doğal sayılardan büyük olamayacağını gösterir.

(Soru: Bu çözüm niye hileli?)

Bu çözüm niye hileli sorusuna düşüncelerim:

xR ve y=|x| olsun diyerek başladık.O halde buradan xy olur. Tabiki  amacım öyle bir nN bulayım ki yn olsun bende göstermek istedim x<n ifadesine ulaşayım. Hile burada devreye giriyor işte n`i  seçmek.

Seçmek için (istediğim ifadeyi bulacak şekilde) neler yapabilirim onu düşüneyim:

yy ... yn

Biliyorum ki  n1<n  ama ben eşitsizliğin arasında y nin olmasını da istiyorum o halde  n=y+1 olarak seçersem amacıma ulaşırım.


4 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

(R,) poset ve NR olmak üzere

N kümesinin üstten sınırlı olduğunu varsayalım.

N, üstten sınırlıNü(xR)(xNü)(nN)(nx)

çelişkisini elde ederiz.

Fakat beklenen cevabın bu olduğunu düşünmüyorum. O halde şu şekilde yaklaşım yapalım.

N kümesi üstten sınırlı bir küme olsun. O halde Sup aksiyomu gereğince N kümesinin bir en küçük üst sınırı vardır. 

N kümesinin en küçük üst sınırı x olsun.Buradan şu teoremi hatırlayalım.

Üstten sınırlı ve boş olmayan bir doğal sayı kümesi en küçük üst sınırını içerir. O halde xN olur.Fakat x+1 doğal sayısının varlığıyla çelişir.





(405 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

x in doğal sayı olduğunu bilmiyoruz.

xR (N için) en küçük üst sınır ise, x1<nx olacak şekilde bir nN vardır. Bunu kullanarak bir çelişkiye ulaşılabilir.

Sonuçta aynı yola çıkacağız hocam o teorem gereğince sizin yaklaşımınızla zaten x=n olduğunu göreceğiz.

Bir n için x1<nx oluşundan x=n sonucu nasıl çıkar? (örneğin π1<3π dir.)

Şimdi öncelikle hocam (x,N kümesinin en küçük üst sınırı olduğunu unutmayalım.) Sizin örneğe gelince x=π olmuş.O halde

π1<3π<4 olur.( Buradan seçtiğiniz x'in N kümesinin üst sınırının bir elemanı olmaması ile çelişiriz.)



Benim demek istediğim şu:

Sizin ispatınızda xN olduğu iddia ediliyor. 

Bunun ispatı yok.

("Üstten sınırlı ve boş olmayan bir doğal sayı kümesi en küçük üst sınırını içerir" gerekçesi  yeterli değil.)

" Üstten sınırlı ve boş olmayan bir doğal sayı kümesi en küçük üst sınırını içerir." gerekçesinin neden yeterli olduğunu anlayamıyorum. N kümesi üstten sınırlı olsun dedik ve x, N kümesinin bir en küçük üst sınırı olsun dedik (Sup aksiyomuna dayanarak) bu gerekçe de bana diyor ki o zaman N kümesi x'i içerir.

Bu iddia doğru ama gerekçesi (bana göre) açık değil. 

Bir de N de sınırlı olmak ve R de sınırlı olmak ayrımı yapılmalı.

Şu örneğe bakalım A={nn+1:nN} olsun. (R de) supA=1, ama 1A. Yani N nin (A da olmayan) bir (topolojik veya cebirsel) özelliğini  kullanmalıyız burada.

(N nin topolojik özelliğini kullanarak) Şöyle (biraz uzun) gösterilebilir:

AN (R de) üstten sınırlı ve x=supA olsun.

(N, R de kapalı ve alt uzay topolojisi ayrık olduğundan)

R nin alışılmış (metrik) topolojisinde  A da kapalı olur.

A nın R deki en küçük üst sınırı ¯A nin bir elemanıdır.

(Analiz derslerinde genellikle şu gösterilir: supAA ise supA, A kümesinin bir yığılma (limit) noktasıdır)

A kapalı olduğu için ¯A=A dır.

Öyleyse xA olur.

(Benim 2. yorumda bahsettiğim yöntemle çok daha kısa yoldan bir çelişki çıkıyor.)

Şimdi daha anlamlı oldu hocam teşekkür ederim.

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Bunu göstermek için genellikle, R nin tamlığı kullanılır ama bu gereksizdir.

Birinci ispat:

(Q nun R de yoğun olduğunu kullanarak)

Bir x gerçel sayısı, N için bir üst sınır olsun. x1 olduğu için x>0 olur.

Bu nedenle, 2x>x olur.

Q nun R de yoğun olduğu için:

x<r<2x  olacak şekilde bir rQ vardır.

r=mn, m,nN+ (r>x>0 idi) olsun.

nr=mN ve (n1 olduğu için)  nrr>x olur. Çelişki.

Bu çelişki, N nin (R de) bir üst sınırı olmadığını gösterir.

(N nin sınırlı olduğu sıralı cisimler vardır http://matkafasi.com/117747/her-sirali-cisimde-arsimet-ozelligi-saglanir-mir sorusuna bakınız.)


(6.2k puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme

İkinci çözüm: (R nin Dedekind kesimleri yöntemi ile kuruluşunu kullanarak)

Bu kuruluşta, her bir gerçel sayı:

1. AQ

2. xA ve yx ise yA olur.

3. A nın en büyük elemanı yoktur.

şeklindeki bir A kümesi ile temsil edilir.

Sıralama şöyle tanımlanır:

x,yR ve x, A ve y, B alt kümesi ile temsil ediliyor ise

AB xy

Bu kuruluşta, her xQ sayısı Ax={rQ:r<x} ile temsil edilir.

İspat:

xR olsun. x, AQ ile temsil edilsin.

AQ olduğu için sA olacak şekilde bir sQ vardır.

|s|=mn, m,nN+ olsun. m|s|s olur.

B={rQ:r<m}, m doğal sayısına karşı gelen kümedir.

A nın 2. özelliğinden,  mA olur.

A nın 2. özelliğinden, rA için  m>r olur.

AB olur.

Bu da xm olması demektir.

Bu da N nin, R de, bir üst sınırı olmadığını gösterir.

(6.2k puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Bir yanıt da ben ekleyeyim.

N doğal sayılar kümesinin üstten sınırlı olmadığını yani Nü olduğunu varsayalım. (Nü:={y|x(xNxy)})

0NNNü}Sup Aksiyomu(bR)(supN=b)b1<b}b1Nü


(nN)(b1<n)(n+1N)(b<n+1)

olur. Bu ise supN=b olması ile çelişir.


(11.5k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,291 soru
21,832 cevap
73,524 yorum
2,656,262 kullanıcı