İkinci çözüm: (R nin Dedekind kesimleri yöntemi ile kuruluşunu kullanarak)
Bu kuruluşta, her bir gerçel sayı:
1. ∅≠A⫋Q
2. x∈A ve y≤x ise y∈A olur.
3. A nın en büyük elemanı yoktur.
şeklindeki bir A kümesi ile temsil edilir.
Sıralama şöyle tanımlanır:
x,y∈R ve x, A ve y, B alt kümesi ile temsil ediliyor ise
A⊆B⇔ x≤y
Bu kuruluşta, her x∈Q sayısı Ax={r∈Q:r<x} ile temsil edilir.
İspat:
x∈R olsun. x, A⊂Q ile temsil edilsin.
A≠Q olduğu için s∉A olacak şekilde bir s∈Q vardır.
|s|=mn, m,n∈N+ olsun. m≥|s|≥s olur.
B={r∈Q:r<m}, m doğal sayısına karşı gelen kümedir.
A nın 2. özelliğinden, m∉A olur.
A nın 2. özelliğinden, ∀r∈A için m>r olur.
A⊆B olur.
Bu da x≤m olması demektir.
Bu da N nin, R de, bir üst sınırı olmadığını gösterir.