Question

Doğal sayılar kümesinin üstten sınırsız olduğunu gösteriniz.

Comments

Bunun çözümü bu sitede var sanırım.

---

Ben de var diye hatırlıyorum ama bulamadım. Gün geçtikçe sitede aradıklarımı bulmak zorlaşıyor.

---

Biraz hileli çözüm:

$x\in\mathbb{R}$ olsun.

$y=|x|$ olsun. $y\geq x$ olur.

$n=\lfloor y\rfloor+1$ olsun. $n\in\mathbb{N}$ ve ($n-1=\lfloor y\rfloor\leq y\leq n$ olduğu için) $n\geq y$ olur.

 $n>x$ olur. Bu da bize hiç bir  gerçel sayının tüm doğal sayılardan büyük olamayacağını gösterir.

(Soru: Bu çözüm niye hileli?)

---

Bu çözüm niye hileli sorusuna düşüncelerim:

$x\in\mathbb{R}$ ve $y=|x|$ olsun diyerek başladık.O halde buradan $x\leq y$ olur. Tabiki  amacım öyle bir $n\in\mathbb{N}$ bulayım ki $y\leq n$ olsun bende göstermek istedim $x< n$ ifadesine ulaşayım. Hile burada devreye giriyor işte $n \text{`i}$  seçmek.

Seçmek için (istediğim ifadeyi bulacak şekilde) neler yapabilirim onu düşüneyim:

$\lfloor y \rfloor \leq y \Rightarrow \ ... \ \Rightarrow y\leq n$

Biliyorum ki  $n-1 < n$  ama ben eşitsizliğin arasında y nin olmasını da istiyorum o halde  $n=\lfloor y \rfloor+1$ olarak seçersem amacıma ulaşırım.

Answer 1

$(\mathbb{R},\leq)$ poset ve $\mathbb{N}\subseteq\mathbb{R}$ olmak üzere

$\mathbb{N}$ kümesinin üstten sınırlı olduğunu varsayalım.

$\begin{array}{rcl} \mathbb{N} \text{, üstten sınırlı} & \Rightarrow & \mathbb{N}^{ü} \neq\emptyset \\ \\ & \Rightarrow & (\exists x\in\mathbb{R})(x\in\mathbb{N}^{ü}) \\ \\ & \Rightarrow & (\forall n\in\mathbb{N})(n\leq x) \end{array}$

çelişkisini elde ederiz.

Fakat beklenen cevabın bu olduğunu düşünmüyorum. O halde şu şekilde yaklaşım yapalım.

$\mathbb{N}$ kümesi üstten sınırlı bir küme olsun. O halde Sup aksiyomu gereğince $\mathbb{N}$ kümesinin bir en küçük üst sınırı vardır. 

$\mathbb{N}$ kümesinin en küçük üst sınırı $x$ olsun.Buradan şu teoremi hatırlayalım.

Üstten sınırlı ve boş olmayan bir doğal sayı kümesi en küçük üst sınırını içerir. O halde $x\in\mathbb{N}$ olur.Fakat $x+1$ doğal sayısının varlığıyla çelişir.

Comments

$x$ in doğal sayı olduğunu bilmiyoruz.

---

$x\in\mathbb{R}$ ($\mathbb{N}$ için) en küçük üst sınır ise, $x-1<n\leq x$ olacak şekilde bir $n\in\mathbb{N}$ vardır. Bunu kullanarak bir çelişkiye ulaşılabilir.

---

Sonuçta aynı yola çıkacağız hocam o teorem gereğince sizin yaklaşımınızla zaten $x=n$ olduğunu göreceğiz.

---

Bir $n$ için $x-1<n\leq x$ oluşundan $x=n$ sonucu nasıl çıkar? (örneğin $\pi-1<3\leq\pi$ dir.)

---

Şimdi öncelikle hocam ($x \text{,}\mathbb{N}$ kümesinin en küçük üst sınırı olduğunu unutmayalım.) Sizin örneğe gelince $x=\pi$ olmuş.O halde

$\pi-1< 3 \Rightarrow \pi<4$ olur.( Buradan seçtiğiniz $x \text{'in} \ \mathbb{N}$ kümesinin üst sınırının bir elemanı olmaması ile çelişiriz.)

---

Benim demek istediğim şu:

Sizin ispatınızda $x\in\mathbb{N}$ olduğu iddia ediliyor. 

Bunun ispatı yok.

("Üstten sınırlı ve boş olmayan bir doğal sayı kümesi en küçük üst sınırını içerir" gerekçesi  yeterli değil.)

---

" Üstten sınırlı ve boş olmayan bir doğal sayı kümesi en küçük üst sınırını içerir." gerekçesinin neden yeterli olduğunu anlayamıyorum. $\mathbb{N}$ kümesi üstten sınırlı olsun dedik ve $x ,\ \mathbb{N}$ kümesinin bir en küçük üst sınırı olsun dedik (Sup aksiyomuna dayanarak) bu gerekçe de bana diyor ki o zaman $\mathbb{N}$ kümesi $x \text{'i}$ içerir.

---

Bu iddia doğru ama gerekçesi (bana göre) açık değil. 

Bir de $\mathbb{N}$ de sınırlı olmak ve $\mathbb{R}$ de sınırlı olmak ayrımı yapılmalı.

Şu örneğe bakalım $A=\{\frac n{n+1}:n\in\mathbb{N}\}$ olsun. ($\mathbb{R}$ de) $\sup A=1$, ama $1\notin A$. Yani $\mathbb{N}$ nin ($A$ da olmayan) bir (topolojik veya cebirsel) özelliğini  kullanmalıyız burada.

($\mathbb{N}$ nin topolojik özelliğini kullanarak) Şöyle (biraz uzun) gösterilebilir:

$\emptyset\neq A\subseteq\mathbb{N}$ ($\mathbb{R}$ de) üstten sınırlı ve $x=\sup A$ olsun.

($\mathbb{N},\ \mathbb{R}$ de kapalı ve alt uzay topolojisi ayrık olduğundan)

$\mathbb{R}$ nin alışılmış (metrik) topolojisinde  $A$ da kapalı olur.

$A$ nın $\mathbb{R}$ deki en küçük üst sınırı $\overline{A}$ nin bir elemanıdır.

(Analiz derslerinde genellikle şu gösterilir: $\sup A\notin A$ ise $\sup A,\ A$ kümesinin bir yığılma (limit) noktasıdır)

$A$ kapalı olduğu için $\overline{A}=A$ dır.

Öyleyse $x\in A$ olur.

(Benim 2. yorumda bahsettiğim yöntemle çok daha kısa yoldan bir çelişki çıkıyor.)

---

Şimdi daha anlamlı oldu hocam teşekkür ederim.

Answer 2

Bunu göstermek için genellikle, $\mathbb{R}$ nin tamlığı kullanılır ama bu gereksizdir.

Birinci ispat:

($\mathbb{Q}$ nun $\mathbb{R}$ de yoğun olduğunu kullanarak)

Bir $x$ gerçel sayısı, $\mathbb{N}$ için bir üst sınır olsun. $x\geq1$ olduğu için $x>0$ olur.

Bu nedenle, $2x>x$ olur.

$\mathbb{Q}$ nun $\mathbb{R}$ de yoğun olduğu için:

$x<r<2x$  olacak şekilde bir $r\in\mathbb{Q}$ vardır.

$r=\frac mn,\ m,n\in\mathbb{N}^+$ ($r>x>0$ idi) olsun.

$nr=m\in\mathbb{N}$ ve ($n\geq1$ olduğu için)  $nr\geq r>x$ olur. Çelişki.

Bu çelişki, $\mathbb{N}$ nin ($\mathbb{R}$ de) bir üst sınırı olmadığını gösterir.

($\mathbb{N}$ nin sınırlı olduğu sıralı cisimler vardır http://matkafasi.com/117747/her-sirali-cisimde-arsimet-ozelligi-saglanir-mir sorusuna bakınız.)

Answer 3

İkinci çözüm: ($\mathbb{R}$ nin Dedekind kesimleri yöntemi ile kuruluşunu kullanarak)

Bu kuruluşta, her bir gerçel sayı:

1. $\emptyset \neq A\subsetneqq\mathbb{Q}$

2. $x\in A$ ve $y\leq x$ ise $y\in A$ olur.

3. $A$ nın en büyük elemanı yoktur.

şeklindeki bir $A$ kümesi ile temsil edilir.

Sıralama şöyle tanımlanır:

$x,y\in\mathbb{R}$ ve $x,\ A$ ve $y,\ B$ alt kümesi ile temsil ediliyor ise

$A\subseteq B\Leftrightarrow\ x\leq y$

Bu kuruluşta, her $x\in\mathbb{Q}$ sayısı $A_x=\{r\in\mathbb{Q}:r<x\}$ ile temsil edilir.

İspat:

$x\in\mathbb{R}$ olsun. $x,\ A\subset\mathbb{Q}$ ile temsil edilsin.

$A\neq\mathbb{Q}$ olduğu için $s\notin A$ olacak şekilde bir $s\in\mathbb{Q}$ vardır.

$|s|=\frac mn,\ m,n\in\mathbb{N}^+$ olsun. $m\geq|s|\geq s$ olur.

$B=\{r\in\mathbb{Q}:r<m\}$, $m$ doğal sayısına karşı gelen kümedir.

$A$ nın 2. özelliğinden,  $m\notin A$ olur.

$A$ nın 2. özelliğinden, $\forall r\in A$ için  $m>r$ olur.

$A\subseteq B$ olur.

Bu da $x\leq m$ olması demektir.

Bu da $\mathbb{N}$ nin, $\mathbb{R}$ de, bir üst sınırı olmadığını gösterir.

Answer 4

Bir yanıt da ben ekleyeyim.

$\mathbb{N}$ doğal sayılar kümesinin üstten sınırlı olmadığını yani $\mathbb{N}^ü\neq \emptyset$ olduğunu varsayalım. $(\mathbb{N}^ü:=\{y|\forall x(x\in \mathbb{N}\Rightarrow x\leq y)\})$

$\left.\begin{array}{rr}0\in\mathbb{N}\Rightarrow \mathbb{N}\neq \emptyset \\ \\ \mathbb{N}^ü\neq\emptyset \end{array} \right\}\overset{\text{Sup Aksiyomu}}{\Rightarrow} \begin{array}{c} \\ \\ \left. \begin{array}{rr} (\exists b\in\mathbb{R})(\sup\mathbb{N}=b) \\ \\ b-1<b \end{array} \right\} \Rightarrow b-1\notin\mathbb{N}^ü\end{array}$

$\Rightarrow (\exists n\in\mathbb{N})(b-1<n)\Rightarrow (n+1\in\mathbb{N})(b<n+1)$

olur. Bu ise $$\sup\mathbb{N}=b$$ olması ile çelişir.