Her sıralı cisimde Arşimet Özelliği sağlanır mı?

Question

$\mathbb{Q (x)}$ :Rasyonel (kesirli)  sayı katsayılı rasyonel fonksiyonların (polinomların oranı) cismi olsun.

 Bu cisimde :

$\begin{align}\frac{P(x)}{Q(x)}>\frac{R(x)}{S(x)}\Leftrightarrow &(P(x)S(x)-Q(x)R(x))\text{ in başkatsayısı ile } \\&Q(x)S(x)\text{ in başkatsayısı aynı işaretli }\end{align}$

(daha kısa: $\frac{P(x)}{Q(x)}>0\Leftrightarrow P(x)\text{ in başkatsayısı ile } Q(x)\text{ in başkatsayısı aynı işaretli }$)

Bir cisim sıralaması (toplama ve çarpmaya "saygı duyan" (koruyan)) tanımlar mı?

Tanımlıyor ise bu cisimde Arşimet özelliği sağlanır mı?

Comments

$\frac{P(x)}{Q(x)}>\frac{R(x)}{S(x)}$  ve  $\frac{M(x)}{N(x)}>0$ olsun. 

Gösterilmesi gereken şu:

$$\frac{P(x)}{Q(x)}\cdot \frac{M(x)}{N(x)}\overset{?}{>}\frac{R(x)}{S(x)}\cdot\frac{M(x)}{N(x)}$$

$$\frac{M(x)}{N(x)}>0$$

$$\Rightarrow$$

$$M(x) \text{ ile } N(x)\text{'in başkatsayıları aynı işaretli}$$

$$\Rightarrow$$

$$[M(x) \text{ ile } N(x)\text{'in başkatsayıları pozitif}] \vee [M(x) \text{ ile } N(x)\text{'in başkatsayıları negatif}]$$

I. Durum: $M(x)$  ile  $N(x)$'in başkatsayıları pozitif olsun.

Bu durumda 

$$\frac{P(x)}{Q(x)}>\frac{R(x)}{S(x)}$$ yani   $$P(x)\cdot S(x)-Q(x)\cdot R(x)$$ ile $$Q(x)\cdot S(x)$$ polinomlarının başkatsayıları aynı işaretli olduğundan

$$M(x)\cdot N(x)\cdot [P(x)\cdot S(x)-Q(x)\cdot R(x)]$$ ile $$Q(x)\cdot S(x)\cdot N^2(x)$$ polinomlarının da başkatsayıları aynı işaretli olur. Buradan da 

$$\frac{P(x)}{Q(x)}\cdot \frac{M(x)}{N(x)}>\frac{R(x)}{S(x)}\cdot\frac{M(x)}{N(x)}$$  elde edilir.

II. Durum: $M(x)$  ile  $N(x)$'in başkatsayıları negatif olsun. I. duruma benzer şekilde gösterilir.

Dolayısıyla yukarıdaki gibi tanımlanan sıralama ÇARPMAYA saygı duyar.

---

$\frac{P(x)}{Q(x)}>\frac{R(x)}{S(x)}$  ve  $\frac{M(x)}{N(x)}\in \mathbb{Q}(x)$ olsun.

Gösterilmesi gereken şu:

$$\frac{P(x)}{Q(x)}+\frac{M(x)}{N(x)}\overset{?}{>}\frac{R(x)}{S(x)}+\frac{M(x)}{N(x)}$$

$$\frac{P(x)}{Q(x)}>\frac{R(x)}{S(x)}$$

$$\Rightarrow$$

$$P(x)\cdot S(x)-Q(x)\cdot R(x) \ \text{  ile  }  \ Q(x)\cdot S(x) \text{ polinomunun başkatsayısı aynı işaretli}$$

$$\Rightarrow$$

$$[P(x)\cdot S(x)-Q(x)\cdot R(x)]\cdot N^2(x) \ \text{  ile  }  \ Q(x)\cdot S(x)\cdot N^2(x) \text{ polinomunun başkatsayısı aynı işaretli}$$

$$\Rightarrow$$

$\begin{equation*}[P(x)\cdot N(x)+Q(x)\cdot M(x)]\cdot S(x)\cdot N(x)-[R(x)\cdot N(x)+S(x)\cdot M(x)]\cdot Q(x)\cdot N(x) \\ \text{  ile  }  \ Q(x)\cdot S(x)\cdot N^2(x) \text{ polinomunun başkatsayısı aynı işaretli}\end{equation*}$

$$\Rightarrow$$

$$\frac{P(x)\cdot N(x)+Q(x)\cdot M(x)}{Q(x)\cdot N(x)}>\frac{R(x)\cdot N(x)+S(x)\cdot M(x)}{S(x)\cdot N(x)}$$

$$\Rightarrow$$

$$\frac{P(x)}{Q(x)}+\frac{M(x)}{N(x)}>\frac{R(x)}{S(x)}+\frac{M(x)}{N(x)}$$

elde edilir. Dolayısıyla yukarıdaki gibi tanımlanan sıralama TOPLAMAYA da saygı duyar.

---

Yukarıdaki gibi tanımlanan sıralama bağıntısı hem toplamaya hem de çarpmaya saygı duyduğundan

$$(\mathbb{Q}(x),+,\cdot,>,0,1)$$ altılısı bir sıralı cisimdir. Şimdi bu sıralı cismin Arşimet özelliğini sağlayıp sağlamadığını düşünebiliriz. Arşimet özelliği sağlanmıyorsa sıralı cisimde en az bir tane sonsuz küçük var demektir.

---

Aslında şu üçünü göstermek yeterli (ve biraz daha kolay):

1.$\frac{P(x)}{Q(x)}>0$ ya da $-\frac{P(x)}{Q(x)}>0$ ya da $\frac{P(x)}{Q(x)}=0$ (veya değil. Sadece biri doğru olmalı)

2. $\frac{P(x)}{Q(x)}>0$ ve $\frac{R(x)}{S(x)}>0$  ise  $\frac{P(x)}{Q(x)}+\frac{R(x)}{S(x)}>0$ olur.

3. $\frac{P(x)}{Q(x)}>0$ ve $\frac{R(x)}{S(x)}>0$  ise  $\frac{P(x)}{Q(x)}\cdot\frac{R(x)}{S(x)}>0$ olur.

Answer 1

$x=\frac x1\in\mathbb{Q}(x)$ ve $\forall n\in\mathbb{N}$ için (bu tanıma göre) $x>n$ olur.

Dolayısıyla bu sıralı cisim Arşimet Özelliğini sağlamaz.

Comments

Okuyuculara ilave bilgi: (Aslında pek de bir ilave yok)

$(\mathbb{F},+,\cdot,\leq,0,1)$ sıralı cisim olmak üzere

$$(\mathbb{F},+,\cdot,\leq,0,1) \text{ Archimedean}:\Leftrightarrow(\forall x\in \mathbb{F})(\exists n\in \mathbb{N})(x\leq n)$$

$$(\mathbb{F},+,\cdot,\leq,0,1) \text{ Archimedean değil}$$ $$:\Leftrightarrow$$ $$\neg[(\forall x\in \mathbb{F})(\exists n\in \mathbb{N})(x\leq n)]$$ $$\Leftrightarrow$$ $$(\exists x\in \mathbb{F})\neg(\exists n\in \mathbb{N})(x\leq n)$$ $$\Leftrightarrow$$ $$(\exists x\in \mathbb{F})(\forall n\in \mathbb{N})\neg(x\leq n)$$ $$\Leftrightarrow$$ $$(\exists x\in \mathbb{F})(\forall n\in \mathbb{N})(x>n)$$

Bu soruda da

$$\left(\exists \frac{P(x)}{Q(x)}\in\mathbb{Q}(x)\right)(\forall n\in \mathbb{N})\left(\frac{P(x)}{Q(x)}>n\right)$$ önermesi doğru olduğundan $(\mathbb{F},+,\cdot,\leq,0,1)$ sıralı cismi Archimedean değildir.