Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.1k kez görüntülendi
f:RR sonsuz (=istendiği kadar) kez türevlenebilen, f(0)=0, f(1)=1 ve her xR için f(x)0 koşullarını sağlayan bir fonksiyon olsun.

En az bir n>0 doğal sayısı ve en az bir xR için f(n)(x)<0 olduğunu gösteriniz.

(f(n)(x), n-inci basamaktan türev)

(edit:f(n)(x)<0 yerine f(n)(x)>0 yazmışım, düzelttim)
Lisans Matematik kategorisinde (6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 1.1k kez görüntülendi

Lisans öğrencileri için biraz zor. 

Akademik Kategorisine (bilinmesi gerekenler yönünden değil, yöntem yönünden) yakın.

Kimse çöz(e)mez ise 2 gün sonra çözeceğim.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

İddianın yanlış olduğunu varsayıp bir çelişkiye ulaşarak, iddianın doğruluğunu ispatlayacağız.

Her xR ve her nN için f(n)(x)0 olsun.

her nN için f(n) (tüm R de) artan (azalmayan da deniyor) fonksiyondur.

Bu nedenle (ve f(0)=0 olduğu için) her x0 için, f(x)=0 olur. 

Buradan da, her x0 ve her nN için,  (0 da soldan türevlerin hepsi 0 olduğu için) f(n)(x)=0 olur dır.

Kalanlı Taylor Teoreminden, (f nin 0 daki değeri  ve her türevi 0  (Aslında, 0 yerine bir negatif sayı da kullanabiliriz)  olduğu için Taylor polinomları 0 olur ve) ,

 1=f(1)=f(n+1)(cn)(n+1)! olacak şekilde cn(0,1) sayıları vardır.

Bu da, her n0 için, f(n+1)(cn)=(n+1)! ve (f(n+1) artan olduğu için)  f(n+1)(1)f(n+1)(cn)=(n+1)! olur.Bu nedenle, f nin 1 deki Taylor polinomları, (her n0 için) Pn(x)=1+a1(x1)+a2(x1)2++an(x1)n olmak üzere ai1 (i=1,,n) olur.

Yine, Kalanlı Taylor Teoreminden, her n0 için:

f(2)=Pn(2)+f(n+1)(dn)(n+1)! olacak şekilde dn(1,2) sayıları vardır.

f(n+1)(dn)0 olduğu için,

f(2)Pn(2)=1+a1+a2++ann+1  olur.

Bu eşitsizlik, her nN için doğru olup, bu durum Arşimet Özelliği ile çelişir.

Bu çelişki, iddianın doğru olduğunu ispatlar.

(6.2k puan) tarafından 
20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,945 kullanıcı