İddianın yanlış olduğunu varsayıp bir çelişkiye ulaşarak, iddianın doğruluğunu ispatlayacağız.
Her x∈R ve her n∈N için f(n)(x)≥0 olsun.
her n∈N için f(n) (tüm R de) artan (azalmayan da deniyor) fonksiyondur.
Bu nedenle (ve f(0)=0 olduğu için) her x≤0 için, f(x)=0 olur.
Buradan da, her x≤0 ve her n∈N için, (0 da soldan türevlerin hepsi 0 olduğu için) f(n)(x)=0 olur dır.
Kalanlı Taylor Teoreminden, (f nin 0 daki değeri ve her türevi 0 (Aslında, 0 yerine bir negatif sayı da kullanabiliriz) olduğu için Taylor polinomları 0 olur ve) ,
1=f(1)=f(n+1)(cn)(n+1)! olacak şekilde cn∈(0,1) sayıları vardır.
Bu da, her n≥0 için, f(n+1)(cn)=(n+1)! ve (f(n+1) artan olduğu için) f(n+1)(1)≥f(n+1)(cn)=(n+1)! olur.Bu nedenle, f nin 1 deki Taylor polinomları, (her n≥0 için) Pn(x)=1+a1(x−1)+a2(x−1)2+⋯+an(x−1)n olmak üzere ai≥1 (i=1,…,n) olur.
Yine, Kalanlı Taylor Teoreminden, her n≥0 için:
f(2)=Pn(2)+f(n+1)(dn)(n+1)! olacak şekilde dn∈(1,2) sayıları vardır.
f(n+1)(dn)≥0 olduğu için,
f(2)≥Pn(2)=1+a1+a2+⋯+an≥n+1 olur.
Bu eşitsizlik, her n∈N için doğru olup, bu durum Arşimet Özelliği ile çelişir.
Bu çelişki, iddianın doğru olduğunu ispatlar.