fonksiyonun değer kümesini bulma

Question

$y=\dfrac {x}{x^{2}+1}$ fonkiyonunun değer kümesini bulmam isteniyor. Birkaç değer koyarak değer kümesinin $-0,5$ ve $0,5$ arası olduğu görülüyor. Benim sormak istediğim burada deneyerek bulma dışında matematiksel olarak nasıl gösterebileceğim.

Comments

Turev ile kritik noktalarini bulabilirsin.

---

Daha basitinden sunu gostermeyi deneyebilirsin: $\dfrac{x^2+1}{x}=2a$ ancak ve ancak $|a|\ge 1$.

---

Bulunca cevaba gecirirsenn guzel olur.

---

Bunun gibi (pay ve paydası en çok 2. derece polinom olan rasyonel) fonksiyonların görüntü kümesi, kolayca, 2. derece polinomların gerçel (reel) kökünün var olup olmadığı problemine dönüşür.

Örneğin $f(x)=\frac x{x^2-1}$ olsun.

$y,\ f$ nin görüntü kümesindedir $\Leftrightarrow\ yx^2-x-y=0$ ($x$ bilinmeyenli 2. derece) denklemin bir gerçel çözümü vardır. ($y\neq0$ ise 2. derece)