$(X,\tau_1),(X,\tau_2)$ topolojik uzaylar ve $A\subseteq X$ olmak üzere $$``(A, \ \tau_2\text{-kompakt})(\tau_1\subseteq \tau_2)\Rightarrow A, \ \tau_1\text{-kompakt}"$$ önermesi doğru mudur? Yanıtınızı kanıtlayınız.

Question

$(X,\tau_1),(X,\tau_2) \text{ topolojik uzaylar ve } A\subseteq X \text{ olmak üzere}$

$(a) \  ``(A, \ \tau_2\text{-kompakt}) (\tau_1\subseteq \tau_2)\Rightarrow A, \ \tau_1\text{-kompakt}"$ önermesi doğru mudur? Yanıtınızı kanıtlayınız.   

$(b) \ ``(A, \ \tau_2\text{-kompakt}) (\tau_2\subseteq \tau_1)\Rightarrow A, \ \tau_1\text{-kompakt}"$ önermesi doğru mudur? Yanıtınızı kanıtlayınız.

Answer 1

$\mathcal{A}\subseteq\tau_1$ ve $A\subseteq\cup\mathcal{A}$ yani $\mathcal{A}$ ailesi, $A$ kümesinin bir $\tau_1$-açık örtüsü olsun.
$\left.\begin{array}{rr} (\mathcal{A}\subseteq \tau_1)(A\subseteq \cup\mathcal{A}) \\ \\ \tau_1\subseteq\tau_2 \end{array} \right\}\Rightarrow \begin{array}{c} \\ \\ \left. \begin{array}{rr} (\mathcal{A}\subseteq \tau_2)(A\subseteq \cup\mathcal{A}) \\ \\ A, \ \tau_2\text{-kompakt} \end{array} \right\} \Rightarrow \end{array}$

$\Rightarrow (\exists\mathcal{A}^*\subseteq\mathcal{A})(|\mathcal{A}^*|<\aleph_0)(A\subseteq \cup\mathcal{A}^*).$

Answer 2

Murad hocam (a) şıkkında verilen önermenin doğru olduğunu göstermiş.

Bizde (b) şıkkında verilen önermeyi inceleyelim:

$X=\mathbb{R}, \ \tau_1=2^{\mathbb{R}}$  ve  $\tau_2=\{\emptyset,\mathbb{R}\}$ olmak üzere $\mathbb{R}$ kümesi $\tau_2$-kompakt  ve $\tau_2\subseteq\tau_1$ olmasına karşın $\tau_1$-kompakt değildir. O  halde $(b)$  şıkkında verilen önerme yanlıştır.