Bir kumede 0 vektörü varsa o kümenin lineer bağımlı oldugunu nasil izah ederiz

Question

Şayet bir kümede 0 vektörü varsa o küme lineer bağımlıdır , nasıl oluyor 

Comments

Teorem: $V$ bir vektor uzayi olsun. $S=\{v_1,v_2,\dots,v_k\}$ kumesi lineer bagimlidir ancak ve ancak $S$ deki en az bir vektor digerlerinin kombinasyonu olarak yazilibilir.

$S=\{0,v_1,v_2,\dots,v_k\}$ olsun. $0$ vektorunu digerlerinin lineer kombinasyonu olarak yazabilirmisin?

---

Digerleri degil de, $S$ deki elemanlarin lineer kombinasoyun. Hatta $\{0\}\subseteq S$. Yani $\{0\}$ icin gostersen yeterli olabilir.

---

c1.v1+c2.v2+.....ck.vk=0 alırsak tüm c1=c2=...ck =0 mı olmalı

---

Lineer bagimli olmasini istiyoruz, demek ki katsayilarin hepsi 0 olmamali..

---

Kümede 0 var ya , 0 'ın kat sayısını herhangi bi sayı alabiliriz o halde tüm c katsayılarının 0 olmasında sakınca var mıdır ?

---

Yoktur, aynen oyle yapacaksin..

---

@Sercan, aslinda ayni seyleri souluyoruz.

---

Teşekkür ediyorum 

---

@sercan teşekkür ediyorum 

---

Cozumunu cevap olarak paylasirsan guzel olur.

---

Okkes, farkindayim elbet. Baska dediginden 0i almayabilir belki diye ,ek bir cizgi yapayim dedim.

Answer 1

S={0,v1,v2.......,vk} olsun . Şayet S kümesinin lineer bağımlı olması için; 

c1.0+c2.v1+c3.v2+.......ck.vk=0 : en az bir c katsayısı farklı 0 olmalıdır .

c1=2 alalım ve geriye kalan tüm c katsayılarını 0 alalım bu durumda v1 , v2,....vk vektörleri 0 vektörleri 0 'ın lineer kombinasyonu şeklinde yapılabilecektir . Yani S kümesi lineer bağımlıdır 

Comments

Bir cisimde 2=0 olabilir mi? Cisim biliyor musun? 

---

Hayır bilmiyorum , ama ben 2 yi 0 almamışım orda ,0 'ın katsayısı 2 olsun demisim 

---

Senin $2$yi $0$ olarak almadiginin farkindayim.

Vektor uzaylari sadece gercel ya da karmasik uzayda tanimlanmiyor. Bazen (bilgisayarlardan bilirsin) $1+1=0$ oluyor. Yani normal sartlarda $2$ dedigimiz $1+1$ burada $0$ olur. Peki $2=0$ olursa ne olur? Katsayiyi $2$ secmek ile $0$ secmek ayni olur. Bu da lineer bagimsizligi daha gosteremedik olur.

Ufak bir nuanstan bahsediyorum. Umarim anlatabilisimdir.

---

Şimdi anladım teşekkür ediyorum 

Answer 2

$0\in S$ olsun. Bu durumda $$1\cdot 0=0$$ saglandigindan $0$ elemani $S$'nin katsayilari sifir olmayan bir lineer toplami olarak yazilabilir.  (Cisimler icin $1\ne 0$ saglanir.)