Belirsiz integralde farklı sonuçlar

Question

$\int \sqrt {6x-x^{2}-5}.dx$

Çözümünde farklı değiştirme yöntemleriyle iki sonuca ulaştım.

Birisi $4.Arc\sin \sqrt {\dfrac {x-1}{4}}$..

Diğeri ise $2.Arc\sin ( \dfrac {x-3}{2}$.. şeklinde  devam eden bir fonksiyondu.Sonra tam hata yaptım derken bu iki fonksiyonunun türevlerinin eşit olduğunu gördüm.O halde c sabiti ile aynı ifadeye ulaşmak mümkün olmalı yanılıyor muyum?Bunu nasıl yapabiliriz?

Comments

İntegral sorunuzu da ekleyin. Soruyu da görelim.

---

Ters türevde verilen fonksiyona türevi eşit olan fonksiyonları alıyoruz. İki türev bir açık aralık üzerinde birbirine eşitse türev farkları sıfırdır. Dolayısıyla farkları sabittir. 

Answer 1

$y=4\arcsin\sqrt{\frac{x-1}4}$ diyelim.

$\sin \frac y4=\sqrt{\frac{x-1}4}$ , $\sin^2 \frac y4=\frac{x-1}4$ 

 $\sin^2\frac y4=\frac{1-\cos\frac y2}2$ oluşundan:

 $\frac{1-\cos\frac y2}2=\frac{x-1}4$, 

$\cos\frac y2=\frac{3-x}2$:

$\frac y2=\arccos\frac{3-x}2\stackrel{*}{=}\frac\pi2-\arcsin\frac{3-x}2\stackrel{**}{=}\frac\pi2+\arcsin\frac{x-3}2$

(*: $\arccos x=\frac\pi2-\arcsin x$ olduğu daha önce gösterildi, **: $\arcsin$ tek fonksiyondur)

$y=2(\frac\pi2+\arcsin\frac{x-3}2)=2\arcsin\frac{x-3}2+\pi$ olur.

Soru: Bu çözüme küçük bir koşul eklemek gerekiyor. Onu bulun.

(Çok da önemli değil)

Comments

x integrali alınan fonksiyona göre [1,5] kapalı aralığında olduğu için  verdiğiniz tüm eşitlikler bu aralıkta sağlanıyor gibi görünüyor.Başka bir koşul  var mı?

---

$\cos \frac y2=\frac{x-1}4$ eşitliğinden,

$\arccos\frac{x-1}4=\frac y2$  eşitliğini elde edebilmek için $0\leq\frac y2\leq\pi$ olması gerekiyor (ve yetiyor),ama 

$\sqrt{\frac{x-1}4}$ tanımlı (gerçel sayı) olduğunda, 

$\sqrt{\frac{x-1}4}\geq0$ ve bunun sonucu olarak, 

$0\leq\frac y2=2\arcsin\sqrt{\frac{x-1}4}\leq\pi$ oluyor 

ve bu koşul kendiliğinden sağlanmış oluyor.

(Düzeltme: "edemek"-> "edebilmek" )