Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
479 kez görüntülendi

$\int \sqrt {6x-x^{2}-5}.dx$

Çözümünde farklı değiştirme yöntemleriyle iki sonuca ulaştım.

Birisi $4.Arc\sin \sqrt {\dfrac {x-1}{4}}$..

Diğeri ise $2.Arc\sin ( \dfrac {x-3}{2}$.. şeklinde  devam eden bir fonksiyondu.Sonra tam hata yaptım derken bu iki fonksiyonunun türevlerinin eşit olduğunu gördüm.O halde c sabiti ile aynı ifadeye ulaşmak mümkün olmalı yanılıyor muyum?Bunu nasıl yapabiliriz?

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (55 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 479 kez görüntülendi
İntegral sorunuzu da ekleyin. Soruyu da görelim.

Ters türevde verilen fonksiyona türevi eşit olan fonksiyonları alıyoruz. İki türev bir açık aralık üzerinde birbirine eşitse türev farkları sıfırdır. Dolayısıyla farkları sabittir. 

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap
$y=4\arcsin\sqrt{\frac{x-1}4}$ diyelim.
$\sin \frac y4=\sqrt{\frac{x-1}4}$ , $\sin^2 \frac y4=\frac{x-1}4$ 
 $\sin^2\frac y4=\frac{1-\cos\frac y2}2$ oluşundan:
 $\frac{1-\cos\frac y2}2=\frac{x-1}4$, 
$\cos\frac y2=\frac{3-x}2$:
$\frac y2=\arccos\frac{3-x}2\stackrel{*}{=}\frac\pi2-\arcsin\frac{3-x}2\stackrel{**}{=}\frac\pi2+\arcsin\frac{x-3}2$
(*: $\arccos x=\frac\pi2-\arcsin x$ olduğu daha önce gösterildi, **: $\arcsin$ tek fonksiyondur)
$y=2(\frac\pi2+\arcsin\frac{x-3}2)=2\arcsin\frac{x-3}2+\pi$ olur.

Soru: Bu çözüme küçük bir koşul eklemek gerekiyor. Onu bulun.
(Çok da önemli değil)
(6.1k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

x integrali alınan fonksiyona göre [1,5] kapalı aralığında olduğu için  verdiğiniz tüm eşitlikler bu aralıkta sağlanıyor gibi görünüyor.Başka bir koşul  var mı?

$\cos \frac y2=\frac{x-1}4$ eşitliğinden,

$\arccos\frac{x-1}4=\frac y2$  eşitliğini elde edebilmek için $0\leq\frac y2\leq\pi$ olması gerekiyor (ve yetiyor),ama 

$\sqrt{\frac{x-1}4}$ tanımlı (gerçel sayı) olduğunda, 

$\sqrt{\frac{x-1}4}\geq0$ ve bunun sonucu olarak, 

$0\leq\frac y2=2\arcsin\sqrt{\frac{x-1}4}\leq\pi$ oluyor 

ve bu koşul kendiliğinden sağlanmış oluyor.

(Düzeltme: "edemek"-> "edebilmek" )

20,200 soru
21,728 cevap
73,277 yorum
1,888,005 kullanıcı