$\mathbb{Q}$ grubunun sonlu doğurulmuş alt grupları devirlidir.

Question

$(\mathbb{Q},+)$ grubunun sonlu doğrulmuş (üretilmiş) alt gruplarının devirli olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$G$ grubu $S$ alt kümesi tarafından doğurulsun.

$S=\emptyset$ ise $G=\{e\}$ olup devirlidir. (veya $S$ yi $\{e\}$ ile değiştirip aşağıdaki mantığı kullanırız)

$S\neq\emptyset$ ise $n_1,n_2,\ldots,n_k,\ S$ deki elemanların paydaları (bunların pozitif olduğunu varsayabiliriz)  ve $m=[n_1,n_2,\ldots,n_k]$ (bu sayıların en küçük ortak katı) olsun. $m\geq1$ dir.

$\phi:G\to \mathbb{Z},\ \phi(\frac{a}b)=\frac{ma}b$ olsun ($\frac{ma}b\in\mathbb{Z}$ olur)

$\phi$ bir grup homomorfizmasıdır, ve 1-1 dir. Öyleyse $G$ ile $\phi(G)$ grupları izomorftur.

 $\mathbb{Z}$ devirli olduğu için, her alt grubu  devirlidir. 

Öyleyse $\phi(G)$ grubu, dolayısıyla, $G$  grubu devirlidir.

Comments

$\frac{ma}b\in\mathbb{Z}$ oluşu 

$S$ nin $G$ yi doğurması ve  $\mathbb{Q}$ da toplamanın tanımından elde edilir.

Answer 2

Başka bir çözüm:

$m\geq1$ tamsayısı, önceki çözümdeki gibi olsun.

(Yorumdaki gibi) $G\subseteq\{\frac am:a\in\mathbb{Z}\}$ olur (ve $G,\ \mathbb{R}$ nin bir alt grubudur).

$\{x\in G: x>0\}\subseteq\{\frac am:a\in\mathbb{N^+}\}$ olur. Bu nedenle

 $\inf\{x\in G: x>0\}\geq\inf\{\frac am:a\in\mathbb{N^+}\}=\frac1m>0$ olur. 

http://matkafasi.com/120724/%24-mathbb-r-%24-grubunun-alt-gruplari

 probleminin çözümünden, $G$ devirlidir.